ПАРНІСТЬ ТА НЕПАРНІСТЬ

Означення. Будь-яке число, яке можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають парним.

Парні числа позначають формулою m = 2n.  Парних чисел безліч.

Парні числа, закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8.

Приклади. Такі числа є парними: 2, 4, 6, 8, 56,  78, 40.

Означення. Будь-яке число, яке не можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають непарним.

Непарні числа позначають формулою m = 2n - 1.

Приклади. Такі числа є непарними: 21, 43, 65, 87, 56,  781, 409. Непарних чисел безліч.

Непарні числа, закінчуються на цифри: 1, 3, 5, 7, 9.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:  парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву властивість.

Сума  квадратів парної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p

                               (парна кількість непарних доданків)

Сума  квадратів непарної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p – 1

                               (непарна кількість непарних доданків)

Зокрема, сума двох квадратів натуральних чисел  може при ділені на 4 мати остачу  0, 1, 2, але не може мати остачу 3.

Приклади:  1² + 2²  = 4 + 1,    1² + 3²  = 4∙2 + 2,    2² + 2²  = 4∙2 + 0.

Варто запам’ятати, що  n² + k² ¹ 4∙m + 3.

Узагальнення попередніх фактів виглядає так:  Парність суми  довільних натуральних  степенів кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною. Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

(2∙n)^z + (2∙k)ⁿ + … + (2∙f )^s + (2∙q)^t = 2∙p

(будь-яка кількість  доданків)

СУМА cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n)^z  -  (2∙k)ⁿ  -  … - (2∙f )^s  - (2∙q)^t = 2∙p

                                       (будь-яка кількість  доданків)

РІЗНИЦЯ cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)^z + (2∙k-1)ⁿ + … + (2∙f-1)^m + (2∙q-1)^w = 2∙p

                                      (парна кількість  непарних доданків)

СУМА cтепенів ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)^z + (2∙k-1)ⁿ + … + (2∙f-1)^m + (2∙q-1)^w = 2∙p - 1

                               (непарна кількість непарних доданків)

СУМА cтепенів НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву і не зовсім  очевидну властивість.

Степінь натурального числа (більша першої степені) не може бути записана у вигляді 4m + 2. Варто запам’ятати, що  n^k ¹ 4∙m + 2, де натуральне k більше 1.

Зокрема, можна довести такі властивості.

Довільна степінь непарного числа вигляду 4∙q +1 подається у вигляді 4∙p + 1:

(4∙q + 1)ⁿ = 4∙p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка степінь непарного числа вигляду 4∙q +1 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4∙2 +1)² = 4∙20 + 1,    (4∙2 +1)³ = 4∙182 +1,    (4∙2 +1)⁴ = 4∙1640 +1.   

Непарна степінь непарного числа вигляду 4∙q + 3 подається у вигляді 4∙p + 3:

(4∙q + 3)^2n-1 = 4∙p + 3.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка непарна степінь непарного числа вигляду 4∙q +3 при діленні на 4 дає остачу 3.

Приклади: (4∙2 +3)³ = 4∙332 + 3.

Парна степінь непарного числа вигляду 4∙q + 3 подається у вигляді 4∙p + 1:

(4∙q + 3)²ⁿ = 4∙p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка парна степінь непарного числа вигляду 4∙q +3 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4∙2 + 3)² = 4∙30 + 1,    (4∙2 +3)⁴ = 14640 +1.

1. Знайти цифри а та b так, щоб число з такими цифрами 32а35717b ділилося на 72.

Відповідь. а=2, b=6.

2. Знайти цифри а та b так, щоб число з такими цифрами 62аb427 ділилося на 99.

Відповідь. а=2, b=4.

3. Чи вірно, що, якщо в запису 3*4*1*0*8*2*40923*0*320*2*56 на місце зірочок поставити в будь-якому місці цифри 0,1, 2, 3, …, 7, 8, 9(кожну один раз), то отримане число ділиться на 396?

Відповідь. вірно.

 4. Приписати до числа19961996 справа три цифри так, щоб отримане число ділилося на 7, на 8, і на 9.

Відповідь. 040 або 544.

5. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що закінчується на цифри 74?

Відповідь: не існує.

6. Чи вірно, що існує куб натурального числа, що закінчується на цифри 228?

Відповідь: не існує.

7. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: нулів і одиниць, в якому 300 одиниць?

Відповідь: не існує.

8. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: нулів і трійок?

Відповідь: не існує.

9. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: вісімок і шісток?

Відповідь: не існує.

10. Нехай p  та   g  – прості числа, більші трійки. Чи вірно, що різниця квадратів цих чисел ділиться  націло на 24?

Відповідь: вірно.

11. Чи вірно, що різниця кубу натурального числа та самого числа ділиться  націло на 3?

Відповідь: вірно.

12. Чи вірно, що різниця п’ятого степеня натурального числа та самого числа ділиться  націло на 4?

Відповідь: не вірно, вона ділиться на 5.

13.Чи вірно, що різниця сьомого степеня натурального числа та самого числа ділиться  націло на 7?

Відповідь: вірно.

14. Чи вірно, що різниця п’ятого степеня натурального числа та самого числа ділиться  націло на 30?

Відповідь: вірно.

56. Задачі на дослідження парності чисел:

Задача 1. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

 Відповідь: ні, не могло.  Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел   непарна.

Задача 2. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел — парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути  рівно 11.

Задача 3. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших — парна.

Задача 4. В ряд записано числа від 1 до 100. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.

Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

Задача 5. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої,  причому пер­шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого – на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.

Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.

Задача 6. На дошці виписано числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволя­ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

Тепер пропонуємо на ваш розгляд більш складні задачі, розв'язання яких, крім парності, використовує, як правило, і деякі додаткові міркування.

Задача 7. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі­ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

Задача 8. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менша 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

Завдання. Властивості парних і непарних чисел.

Розподілити  51 твердження на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел.

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.
2. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного  чисел.
3. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму непарних  чисел.
4. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму парних чисел.
5. Якщо число ділиться на  три, тоді сума його цифр ділиться на дев’ять.
6. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму трьох непарних чисел.
7. Якщо число непарне, тоді кожна цифра цього числа непарна.
8. Якщо число непарне, тоді сума цифр є число парне.
9. Якщо число парне, тоді добуток його цифр  є парним числом.
10. Якщо натуральне число парне, тоді попереднє і наступне  число непарне.
11. Якщо число кратне п’яти, тоді добуток цифр є ненатуральним число.
12. Якщо число парне, тоді добуток першої і останньої цифр є число парне.
13. Якщо число непарне, тоді добуток першої і останньої цифр є число непарне.
14. Якщо число парне, тоді сума першої і останньої цифр  є число парне.
15. Якщо число кратне трьом, тоді добуток його цифр є число кратне трьом.
16. Якщо число кратне десяти, тоді добуток цифр є число ненатуральне.
17. Якщо число непарне, тоді його кількість цифр непарна.
18. Якщо число парне, тоді кількість його цифр є число парне.
19. Якщо число кратне чотирьом, тоді добуток цифр є число непарне.
20. Якщо число кратне шести, тоді добуток його цифр є число парне.
21. Якщо парне число має лише два ділиники, тоді сума дільників цього числа непарна.
22. Якщо число парне, тоді куб цього числа є число, яке ділиться на 8.
23. Якщо число парне, тоді куб цього числа є число кратне восьми.
24. Якщо число непарне, тоді квадрат цього числа є число непарне.
25. Якщо число складається з десяти різних цифр, тоді сума цифр рівна 45.
26. Якщо число складається з десяти різних цифр, тоді сума цифр ділиться на дев’ять.
27. Якщо число ділиться на кожну свою цифру, тоді добуток його цифр рівний нулю.
28. Якщо число ділиться на суму своїх цифр, тоді добуток його цифр є число парне.
29. Якщо число складається тільки з непарних цифр, тоді добуток його цифр є непарне число.
30. Якщо число складається тільки з парних цифр, тоді сума квадратів його цифр є число кратне чотирьом.
31. Якщо число парне, тоді сума усіх цифр цього числа є парне число.
32. Якщо число непарне, тоді сума цифр є число кратне  трьом..
33. Якщо число парне, тоді сума цифр є число непарне.
34. Якщо число непарне, тоді добуток цифр є число парне.
35. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму непарних чисел.
36. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.
37. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного  чисел.
38. Завжди парні числа  є наступними для чисел n, 3n + 3, 2n-1, 2n+1.
39. Завжди  ділиться натуральне число n(n+1) на 2.
40. Завжди ділиться добуток чотирьох послідовних натуральних чисел (n -1)n(n+1)(n+2) на 24.
41. Добуток трьох непарних послідовних чисел  завжди ділиться на 3.
42. Сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на два складених числа..
43. Сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на два простих числа.
44. Сума семи парних послідовних чисел не ділиться на 4.
45. Сума шести послідовних непарних чисел не ділиться на 8.
46. Сума чотирьох послідовних натуральних чисел може бути простим числом.
47. Добуток двох чисел дорівнює 150. Перше число упівтора рази більше другого. Тоді ці числа парні.
48. Додали два числа. Їх сума виявилась на 26 більше від другого доданку. Тоді пер­ший доданок рівний 6.
49. Сума двох чисел  19, а їх різниця  9. Добуток цих чисел 70.
50. Цифрами 2, 4, 7, 9 не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…;  1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…;  і так далі.
51.  Цифрами 2, 3, 7, 8 не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…;  1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…;  і так далі. 

Задачі на круги Ейлера

Задачі на круги Ейлера

Задача 1. У групі зі 100 туристів 70 знають ан­глійську мову, 45 — французьку і 23 — знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької?

Задача 2. В одному з відділів магазину покупці зазвичай купляють або один торт, або коробку цу­керок. Одного дня було продано 57 тортів та 36 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 12 з них придбали і торт, і коробку цукерок?

Задача 3. У спортивному таборі 65  дітей вміють грати в футбол, 70  — у волейбол і 75  — у баскетбол. Всьогодітей у табобі 100.  Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол?

Задача 4. Кожен учень класу на зимових кані­кулах відвідав театр двічі, при цьому спектаклі А, В та С бачили відповідно 25, 12 та 23 учні. Скільки учнів навчається у класі? Скільки з них відвідали спектаклі А та В, А та С, В та С?

Задача 5. На уроці літератури вчитель спробу­вав дізнатися, хто з 40 учнів класу читав книги А, В та С. Результати опитування виявилися такі: книгу А читали 25 учнів, книгу В — 22 учні, книгу С — також 22 учні. Книги А або В читали 33 учні, А або С — 32 учні, В або С — 31 учень; усі три книги прочитали 10 учнів. Скільки учнів прочитали одну книгу? Скільки учнів не прочитали жодної з трьох книг?

Задача 6. Опитування 100 студентів показало такі результати про кількість студентів, які вивчають іно­земні мови: англійську — 28; німецьку — 30; фран­цузьку — 42; англійську та німецьку — 8; англійську та французьку — 10; німецьку та французьку — 5; всі три мови — 3 студенти. Скільки студентів не вивчає жодної мови? Скільки студентів вивчає тільки французьку мову? Скільки студентів вивчає тільки німецьку мову? Скільки студентів вивчає тільки анг­лійську мову?

Задача 7. Протягом тижня в кінотеатрі демонст­рувалися фільми А, В та С. З 40 школярів, кожен з яких подивився або всі три фільми, або один з трьох, фільм А дивилися 13 учнів, фільм В – 16, фільм С – 19. Скільки учнів переглянули всі три фільми?

Задача 8. У класі з 40 учнів 30 уміють плавати, 27 –грати у шахи і тільки 5 не вміють ні того, ні іншого. Скільки учнів уміють плавати і грати у шахи?

Теорема про остачі

 Квадратні лишки

Остачі при діленні квадратів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m² = m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 4;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 5, 6, 9;

11, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 5, 9;

12, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;

13, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12;

14, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 4, 8, 9;

15, то отримаємо остачі 0, 1,4, 6,  9, 10;

16, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;

17, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 8, 9,15.

Кубічні лишки

Остачі при діленні кубів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m³ = m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 8;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9

Таблиця остач при діленні кубів на цифри

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1
23	0	0	2	0	3	2	1	0	8
33	0	1	0	3	2	3	6	3	0
43	0	0	1	0	4	4	1	0	1
53	0	1	2	1	0	5	6	5	8
63	0	0	0	0	1	0	6	0	0
73	0	1	1	3	3	1	0	7	1
83	0	0	2	0	2	2	1	0	8
93	0	1	0	1	0	3	1	1	0

Четвіркові лишки

Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m⁴ = m∙m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 5, 6;

П’ятіркові лишки

Остачі при діленні п’ятих степенів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m⁵ = m∙m∙m∙ m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4, 5, 7, 8;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.

Розв’язування числових задач.

1	2	3	4	5	6
n	n2	n3	n4	n4k	nk
...1	1	1	1	1	1
2	4	8	6	6	-
3	9	7	1	1	-
4	6	4	6	6	-
5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6
7	9	3	1	1	-
8	4	2	6	6	-
9	1	9	1	1	-
0	0	0	0	0	0

 У цій таблиці наведено останні цифри натуральних чисел, квадратів, кубів, четвертих степенів і так далі.

Використовуємо цю таблицю для розв’язування задач.

Задача 1. Знайти остачу від ділення квадрата цілого числа на 5.

Розв’язання:

Квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.(колонка 2) то при їх діленні  на 5 одержуємо 0, 1 або 4.

Задача 2. Чи може число виду 1^k+5^m+6ⁿ, де k, m, n – довільні натуральні числа, бути довільним квадратом.

Розв’язання: Кожний доданок закінчується відповідно цифрами: 1, 5 і 6 (колонка 6) і тому їх сума закінчується цифрою 2, а таке число не може бути точним квадратом.

Задача 3. Довести, що число 53⁵³- 33³³ ділиться на 10.

Розв’язання: При виділенні показників степенів 53 і 33 на 4 в остачі одержуємо в кожному випадку 1. Отже, остання цифра числа 55⁵³ така сама, як числа 33³³, бо53^4*13+1 і 33^4*8+1, отже, остання цифра різниці 0, і ця різниця ділиться на 10.

 Задача 4. Які остачі можуть мати точні квадрати при діленні на 3?

Відповідь: 0; 1; (3k±1)²=9k²±6k+1.    (3k)²=9k.

Задача 5. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 4?

(2k)²=4k²

(2k+1)²=4k²+4k+1

Відповідь: 2; 3.

Задача 6. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 5?

Відповідь:2 і 3. (5k)²=25k²+0

(5k±1)²=25k²±10k+1

(5k±2)²=25k²±20k+4

Задача 7. Довести, що при будь-якому цілому n число n(n-3)(n²-3n+14) ділиться на 24?

Доведення:

n (n-3)(n2-n-2n+2+12)=n(n-3)(n(n-1)-2(n-1)+12=n(n-3)(n-1)(n-2)+12n(n-3). Це число ділиться на 24, бо:

1.    n(n-1)(n-2)(n-3) ділиться на 3і 8 Þділиться на 24.

2.    12n(n-3) ділиться на 12 і 2, бо n(n-3)- просте числоÞділиться на 24.

Підсумок заняття. Мозковий штурм.

Кожний сірник має довжину 5 см. Як із 15 сірників скласти метр( викласти слово “метр”).

Теорема 1. Завжди знайдеться натуральний дільник  n  для  довільного степеня натурального числа m^k, який при ділення степння на цей дільник n дає остачу 1, (або завжди можна знайти такі  натуральні числа, що (m^k– 1)/n – натуральне число).

Тобто рівняння з двома невідомими завжди має  розв’язки в натуральних числах

m^k - 1= 0(mod n), 

Теорема 2. Завжди знайдеться натуральний дільник n, більший 5, для  довільного квадрату натурального числа, який при ділення квадрата на цей дільник дає остачу 4.

Тобто, рівняння з двома невідомими завжди має  розв’язки в натуральних числах

m² = 4(mod n).

Теорема 3. Завжди знайдеться такий натуральний дільник n для  довільного квадрату натурального числа, який при ділення на цей натуральний дільник дає остачу 0.

Тобто рівняння з двома невідомими завжди має  розв’язки в натуральних числах

m² = 0(mod n).

Теорема 3. Завжди знайдеться такий натуральний дільник n, більший 9,  для  довільного квадрату натурального числа, який при ділення на цей натуральний дільник n дає остачу 0.

Тобто рівняння з двома невідомими завжди має  розв’язки в натуральних числах

m² = 9(mod n).

Теорема 4. Рівняння з двома невідомими

m² = 3(mod n).

 має  розв’язки в цифрах тільки один розв’язок  m = 3, n = 6.

(Умова задачі на це рівняння. Знайти двоцифрове число, у якого квадрат цифри десятків при діленні на цифру одиниць дає остачу, що дорівнює половині цифри  одиниць. Відповідь: 36.)

Теорема 4. Рівняння з двома невідомими

m² = 2(mod n).

 має  розв’язки в цифрах тільки два розв’язки:  m = 3, n = 7. m = 4, n = 7.

(Умова задачі на це рівняння.  Знайти двоцифрові число, у яких  квадрат цифри десятків при діленні на цифру одиниць дає остачу 2. Відповідь: 37 та 47.)

Чи існує магічний квадрат 3х3 , складений з натуральних чисел так, щоб виконувалася умова на парність чисел? (У магічного квадрату суми чисел по двох діагоналях, трьох вертикалях та трьох горизонталях рівні).

2n	2k-1	2r
2d-1	2t-1	2m-1
2c	2a-1	2k

Відповідь: існує.

Чи існує магічний квадрат 3х3, складений з натуральних чисел так, щоб виконувалася умова на парність чисел?(У магічного квадрату суми чисел по двох діагоналях, трьох вертикалях та трьох горизонталях рівні).

2n	2k-1	2r
2d-1	2t	2m-1
2c	2a-1	2k

Відповідь: не існує.

6. Чи існує така цифра, більша 1, яка ділиться на число вигляду m² – 8. Відповідь: не існує.

1.     Знайти двоцифрові числа, у яких куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу 5. Відповідь: 58, 56.

2.     Знайти двоцифрові числа, у яких куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу, що дорівнює цифрі одиниць, зменшеній на 1. Відповідь: 12, 32, 52, 72, 92. 23, 53, 83, 34, 74, 45, 56, 57, 78,  29, 89, 59.

3.     Знайти двоцифрові числа, у яких куб цифри десятків  при діленні на цифру одиниць, дає остачу, що дорівнює цифрі десятків. Відповідь: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89.

4.     (Теорема: m³ = m(mod m +1) та m³ = m(mod m -1), де m >1 )Доведіть, що всі двоцифрові числа, у яких цифри розташовані послідовно у порядку зростання, володіють такою властивістю: «куб цифри десятків  при діленні на цифру одиниць, дає остачу, що дорівнює цифрі десятків.»

5.       Знайти  усі двоцифрові числа, у яких куб цифри десятків  ділиться на цифру одиниць без остачі. Відповідь: 22,  42,  62,  82,  33,  44, 63,  93,  84,  64, 55,  66, 77, 88, 28, 48, 68,39, 69, 99.

 

6.     Знайти двоцифрові числа, у яких куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу 6, що дорівнює цифрі одиниць, зменшеній на 1. Відповідь: 57, 67.

Теорема про остачі: Якщо остача від ділення числа а на b дорівнює с,

то остача від ділення числа аⁿ на b дорівнює остачі від ділення числа сⁿ на b.

Приклад 1. 13 : 5 = 2 (ост. 3), тоді 13ⁿ :5 дає таку саму остачу, як і 3ⁿ: 5.

Розв'язання

1) n = 2, 13²:5 = 169:5 = 33 (ост. 4) і  3²:5 = 9:5 = 1 (ост. 4);

2) n = 3, 13³:5 = 2197:5 = 439 (ост. 2) і 3³:5 = 27:5 = 5 (ост. 2);

3) n = 4, 13⁴:5 = 28 561:5 = 5712 (ост. 1) і 3⁴:5 = 81:5 = 16(ост. 1);

4) n = 5, 13⁵:5 = 371 293:5 = 74 258 (ост. 3) і 3⁵:5 = 243:5 = 48 (ост. 3).

Приклад 2. Знайти остачу від ділення числа 2222ⁿ на 7.

Розв'язання

1)         Знайдемо остачу від ділення 2222 на 7:  2222 : 7 = 317 (ост. 3).

2)         Остача від ділення 2222ⁿ на 7 така сама, як остача від ділення 3⁴ на 7, тобто 4, бо

3⁴:7 = 81:7 = 11 (ост. 4).

 Відповідь. 4.

Задача 1. Знайти остачу від ділення числа 2222⁵⁵⁵⁵  на 7.

Розв'язання

1) Знайдемо остачу від ділення 2222 на 7: 2222 : 7 = 317 (ост. 3).

Остача від ділення 22225555 на 7 така сама, як остача від ділення 35555 на 7.

Знайдемо остачі від ділення 3n на 7 для різних значень n:

n=1, 3¹:7 = 3:7 = 0 (ост. 3);

n = 2, 3²:7 = 9:7 = 1 (ост. 2);

n = 3, 3³:7 = 27:7 = 3 (ост. 6);

n = 4, 3⁴:7 = 81:7 = 11 (ост. 4);

n = 5, 3⁵:7 = 243:7 = 34 (ост. 5);

n = 6, 3⁶:7 = 729:7 = 104 (ост. 1);

 n = 7, 3⁷:7 = 2187:7 = 312 (ост. 3).

Цикл дорівнює 6.

4)      Знайдемо кількість повних циклів у числі 5555.   5555 : 6 = 925 (ост. 5).

925 повних циклів відкидаємо.

Отже, ос­тача відділення 3⁵⁵⁵⁵ на 7 така сама, як від ділення 3⁵ на 7, тобто 5.

Отже, і остача від ділення 2222⁵⁵⁵⁵ на 7 до­рівнює 5.

Відповідь. 5.

Задача 2. Знайти остачу від ділення числа 5555²²²² на 7.

Розв'язання

1) Знайдемо остачу від ділення 5555 на 7:

5555 : 7 = 793 (ост. 4).

Остача від ділення 5555²²²² на 7 така сама, як остача від ділення 4²²²² на 7.

Знайдемо остачі від ділення 4ⁿ на 7 для різних значень n:

n = 1, 4¹:7 = 4:7 = 0 (ост. 4);

n = 2, 4²:7 = 16:7 = 2 (ост. 2);

n = 3, 4³:7 = 64:7 = 9 (ост.1);

n = 4, 4⁴:7 = 256:7 = 36 (ост. 4).

Цикл дорівнює 3.

2)      Знайдемо кількість повних циклів у числі 2222.

2222 : 3 = 740 (ост. 2).

740 повних циклів відкидаємо.

Отже, ос­тача від ділення 4²²²² на 7 така сама, як і від ділення 4² на 7, тобто 2.

Отже, і остача відділення 5555²²²² на 7 до­рівнює 2.

Відповідь. 2.

Задача 3. Довести, що (2222⁵⁵⁵⁵+5555²²²²) ділиться  на 7 без остачі.

Доведення.

Оскільки 2222⁵⁵⁵⁵ при діленні на 7 дає оста­чу 5, а 5555²²²² при діленні на 7 дає остачу 2, а сума цих остач 5+2 = 7 ділиться на 7, то (2222⁵⁵⁵⁵ +5555²²²²) ділиться на 7 без остачі, що і треба було довести.

Задача 4. Знайти остачу від ділення числа 7 ²⁰⁰³ на 10.

Розв'язання.

1) Знайдемо остачу від ділення 7 на 10: 7: 10 = 0 (ост. 7).

2)Знайдемо остачі від ділення 7ⁿ  на 10 для різних значень n:

n = 1, 7¹:10 = 7:10 = 0 (ост. 7);

 n = 2, 7²:10 = 49:10 = 4 (ост. 9);

 n = 3, 7³:10 = 343:10 = 34 (ост. 3);

n = 4, 7⁴:10 = 2401:10 = 240(ост. 1);

n = 5, 7⁵ : 10 = 16 807:10 = 1680 (ост. 7).

Цикл дорівнює 4.

3)Знайдемо кількість повних циклів у числі 2003.

2003 : 4 = 500 (ост. 3).

4)500 повних циклів відкидаємо. Отже, ос­тача від ділення 7²⁰⁰³ на 10 така сама, як остача від ділення 73 на 10 , тобто 3.

Відповідь. 3.

5. Якою цифрою закінчується число 7²⁰⁰³ ?

Розв'язання. 

Остача відділення числа 7²⁰⁰³ на 10 є остан­ньою цифрою цього числа. Тобто число 7²⁰⁰³ закінчується цифрою 3.

Відповідь. 3.

Самостійно виконайте дві наступні вправи.

6.Знайти остачу від ділення числа 2003²⁰⁰⁷ на 3.

7. Якою цифрою закінчується 19²⁰⁰⁸ ?

Задачі для самостійного осмислення.

1. a) Вираз х + 2 ділиться без остачі на 8. Як записати це твердження за допомогою  конгруенції? Знайти множину значень х.

б) Вираз х + 2 ділиться без остачі на 3. Як записати це твердження за допомогою  конгруенції? Знайти множину значень х.

2. a) Вираз 4х + 3 ділиться з остачею 2 на число 9. Як це записати за допомогою конгруенції? Знайти множину значень х.

б) Вираз 4х + 3 ділиться з остачею 2 на число 5. Як це записати за допомогою конгруенції? Знайти множину значень х.

3. a) Вираз 5х - 1 ділиться з остачею 3 на число 7. Як це записати за допомогою конгруенції? Знайти множину значень х.

б) Вираз 5х - 1 ділиться з остачею 3 на число 4. Як це записати за допомогою конгруенції? Знайти множину значень х.

4. a)  Вираз а +2 ділиться без остачі на 8. Як записати це твердження за допомогою конгруенції?

б)  Вираз а +2 ділиться без остачі на 3. Як записати це твердження за допомогою конгруенції?

5. a)  Які з чисел 22, 38, 6,-12, -13 конгруентні 9 за модулем 2, 3,7.

б)  Які з чисел 46, 37, 16, -17, -16 конгруентні 7 за модулем 2, 3, 5, 9.

6. Показати, що числа виду 8k+1, де k=0, 1, 2, ... конгруентні між собою за модулем 8.

7. Довести, що квадрат будь-якого непарного числа конгруентний
з одиницею за модулем 8.

8. Показати, що при n непарному, тобто n = 2k±1, число n³
конгруентне 6k+1 за модулем 4.

9. Довести, що якщо 50а+8b+с  º  0 (mod 21), то а+b+8с º 0(mod 21).

10.    Перевірити конгруенцію 8³⁰ º 34 (mod 55).

11.    Перевірити конгруенцію 5²¹º 27 (mod 77).

12.    З яким найменшим натуральним числом конгруентне число
N=8∙22∙1212∙17∙23 за модулем 9?

13.Чи вірно, що число 8754 конгруентне 4578 за модулем 9?

14. Чи вірно, що число 5647 конгруентне 22 за модулем 9?

15. Чи вірно, що m³-m+7 конгруентне 7 за модулем 6?

16. Чи вірно, що (2+7)⁵ = 2⁵+7⁵ (mod 5)?