Квадратні
лишки
Остачі при діленні квадратів на
натуральні числа.
Якщо квадрат натурального
числа, тобто, m2 = m∙m, поділити на:
2, то отримаємо остачі 0,
1;
3, то отримаємо остачі 0,
1
4, то отримаємо остачі 0,
1;
5, то отримаємо остачі 0,
1, 4;
6, то отримаємо остачі 0,
1, 3, 4;
7, то отримаємо
остачі 0, 1, 2,
4;
8, то отримаємо
остачі 0, 1, 4;
9, то отримаємо остачі 0,
1, 4, 7;
10, то отримаємо остачі
0, 1, 4, 5, 6, 9;
11, то отримаємо остачі
0, 1, 3, 4, 5, 9;
12, то отримаємо остачі
0, 1, 4, 9;
13, то отримаємо остачі
0, 1, 3, 4, 9, 10, 12;
14, то отримаємо остачі
0, 1, 2, 4, 8, 9;
15, то отримаємо остачі
0, 1,4, 6, 9, 10;
16, то отримаємо остачі
0, 1, 4, 9;
17, то отримаємо остачі
0, 1, 4, 8, 9,15.
Кубічні лишки
Остачі при діленні кубів на
натуральні числа.
Якщо куб натурального
числа, тобто, m3 = m∙m∙m, поділити на:
2, то отримаємо остачі 0,
1;
3, то отримаємо остачі 0,
1, 2;
4, то отримаємо остачі 0,
1, 3;
5, то отримаємо остачі 0,
1, 2, 3, 4;
6, то отримаємо остачі 0,
1, 2, 3, 4, 5;
7, то отримаємо
остачі 0, 1, 6;
8, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 5, 7;
9, то отримаємо
остачі 0, 1, 8;
10,
то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9
Таблиця
остач при діленні кубів на цифри
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
23
|
0
|
0
|
2
|
0
|
3
|
2
|
1
|
0
|
8
|
|
33
|
0
|
1
|
0
|
3
|
2
|
3
|
6
|
3
|
0
|
|
43
|
0
|
0
|
1
|
0
|
4
|
4
|
1
|
0
|
1
|
|
53
|
0
|
1
|
2
|
1
|
0
|
5
|
6
|
5
|
8
|
|
63
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
6
|
0
|
0
|
|
73
|
0
|
1
|
1
|
3
|
3
|
1
|
0
|
7
|
1
|
|
83
|
0
|
0
|
2
|
0
|
2
|
2
|
1
|
0
|
8
|
|
93
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
3
|
1
|
1
|
0
|
Четвіркові лишки
Остачі при діленні четвертих
степенів на натуральні числа.
Якщо квадрат натурального
числа, тобто, m4 = m∙m∙m∙m, поділити на:
2, то отримаємо остачі 0,
1;
3, то отримаємо остачі 0,
1
4, то отримаємо остачі 0,
1;
5, то отримаємо остачі 0,
1;
6, то отримаємо остачі 0,
1, 3, 4;
7, то отримаємо
остачі 0, 1, 2,
4;
8, то отримаємо
остачі 0, 1;
9, то отримаємо остачі 0,
1, 4, 7;
10, то отримаємо остачі
0, 1, 5, 6;
П’ятіркові лишки
Остачі при діленні п’ятих
степенів на натуральні числа.
Якщо куб натурального
числа, тобто, m5 = m∙m∙m∙
m∙m, поділити на:
2, то отримаємо остачі 0,
1;
3, то отримаємо остачі 0,
1, 2;
4, то отримаємо остачі 0,
1, 3;
5, то отримаємо остачі 0,
1, 2, 3, 4;
6, то отримаємо остачі 0,
1, 2, 3, 4, 5;
7, то отримаємо
остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;
8, то отримаємо
остачі 0, 1, 3, 5, 7;
9, то отримаємо
остачі 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8;
10,
то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.
Розв’язування числових задач.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
n
|
n2
|
n3
|
n4
|
n4k
|
nk
|
|
...1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
4
|
8
|
6
|
6
|
-
|
|
3
|
9
|
7
|
1
|
1
|
-
|
|
4
|
6
|
4
|
6
|
6
|
-
|
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
|
6
|
6
|
6
|
6
|
6
|
6
|
|
7
|
9
|
3
|
1
|
1
|
-
|
|
8
|
4
|
2
|
6
|
6
|
-
|
|
9
|
1
|
9
|
1
|
1
|
-
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
У цій таблиці наведено останні цифри натуральних чисел, квадратів, кубів,
четвертих степенів і так далі.
Використовуємо цю таблицю для розв’язування задач.
Задача 1. Знайти остачу від ділення квадрата цілого
числа на 5.
Розв’язання:
Квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.(колонка
2) то при їх діленні на 5 одержуємо 0, 1
або 4.
Задача 2. Чи може число виду 1k+5m+6n, де k, m, n – довільні натуральні числа, бути довільним квадратом.
Розв’язання: Кожний доданок закінчується відповідно цифрами: 1, 5 і 6
(колонка 6) і тому їх сума закінчується цифрою 2, а таке число не може бути
точним квадратом.
Задача 3. Довести, що число 5353- 3333
ділиться на 10.
Розв’язання: При виділенні показників степенів 53 і 33 на 4 в остачі
одержуємо в кожному випадку 1. Отже, остання цифра числа 5553 така
сама, як числа 3333, бо534*13+1 і 334*8+1,
отже, остання цифра різниці 0, і ця різниця ділиться на 10.
Задача 4. Які остачі можуть мати точні квадрати при діленні на 3?
Відповідь: 0; 1; (3k±1)2=9k2±6k+1. (3k)2=9k.
Задача 5. Які остачі не можуть мати точні квадрати при
діленні на 4?
(2k)2=4k2
(2k+1)2=4k2+4k+1
Відповідь: 2; 3.
Задача 6. Які остачі не можуть мати точні квадрати при
діленні на 5?
Відповідь:2 і 3. (5k)2=25k2+0
(5k±1)2=25k2±10k+1
(5k±2)2=25k2±20k+4
Задача 7. 
Довести, що при
будь-якому цілому n число n(n-3)(n2-3n+14) ділиться на 24?
Довести, що при
будь-якому цілому n число n(n-3)(n2-3n+14) ділиться на 24?
Доведення:
n (n-3)(n2-n-2n+2+12)=n(n-3)(n(n-1)-2(n-1)+12=n(n-3)(n-1)(n-2)+12n(n-3). Це
число ділиться на 24, бо:
1.
n(n-1)(n-2)(n-3) ділиться на 3і 8 Þділиться на 24.
2.
12n(n-3) ділиться на 12 і 2, бо
n(n-3)- просте числоÞділиться на 24.
Підсумок заняття. Мозковий штурм.
Кожний сірник має довжину 5 см . Як із 15 сірників скласти
метр( викласти слово “метр”).
Теорема
1. Завжди знайдеться натуральний дільник
n
для довільного степеня
натурального числа mk, який при ділення степння на цей дільник n дає остачу 1, (або завжди можна
знайти такі натуральні числа, що (mk– 1)/n – натуральне число).
Тобто
рівняння з двома невідомими завжди має
розв’язки в натуральних числах
mk - 1= 0(mod n),
Теорема
2. Завжди знайдеться натуральний дільник n, більший 5, для довільного квадрату натурального числа, який
при ділення квадрата на цей дільник дає остачу 4.
Тобто,
рівняння з двома невідомими завжди має
розв’язки в натуральних числах
m2 = 4(mod n).
Теорема
3. Завжди знайдеться такий натуральний дільник n для довільного квадрату натурального числа, який
при ділення на цей натуральний дільник дає остачу 0.
Тобто
рівняння з двома невідомими завжди має
розв’язки в натуральних числах
m2 = 0(mod n).
Теорема
3. Завжди знайдеться такий натуральний дільник n, більший 9, для
довільного квадрату натурального числа, який при ділення на цей
натуральний дільник n дає остачу
0.
Тобто
рівняння з двома невідомими завжди має
розв’язки в натуральних числах
m2 = 9(mod n).
Теорема
4. Рівняння з двома невідомими
m2 = 3(mod n).
має
розв’язки в цифрах тільки один розв’язок
m = 3, n = 6.
(Умова
задачі на це рівняння. Знайти двоцифрове число, у якого квадрат цифри десятків
при діленні на цифру одиниць дає остачу, що дорівнює половині цифри одиниць. Відповідь: 36.)
Теорема
4. Рівняння з двома невідомими
m2 = 2(mod n).
має
розв’язки в цифрах тільки два розв’язки:
m = 3, n = 7. m
= 4, n = 7.
(Умова
задачі на це рівняння. Знайти двоцифрові
число, у яких квадрат цифри десятків при
діленні на цифру одиниць дає остачу 2. Відповідь: 37 та 47.)
Чи існує
магічний квадрат 3х3 , складений з натуральних чисел так, щоб виконувалася
умова на парність чисел? (У магічного квадрату суми чисел по двох діагоналях,
трьох вертикалях та трьох горизонталях рівні).
|
2n
|
2k-1
|
2r
|
|
2d-1
|
2t-1
|
2m-1
|
|
2c
|
2a-1
|
2k
|
Відповідь:
існує.
Чи існує
магічний квадрат 3х3, складений з натуральних чисел так, щоб виконувалася умова
на парність чисел?(У магічного квадрату суми чисел по двох діагоналях, трьох
вертикалях та трьох горизонталях рівні).
|
2n
|
2k-1
|
2r
|
|
2d-1
|
2t
|
2m-1
|
|
2c
|
2a-1
|
2k
|
Відповідь:
не існує.
6. Чи
існує така цифра, більша 1, яка ділиться на число вигляду m2 – 8.
Відповідь: не існує.
1. Знайти двоцифрові числа, у яких
куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу 5. Відповідь: 58,
56.
2. Знайти двоцифрові числа, у яких
куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу, що дорівнює цифрі
одиниць, зменшеній на 1. Відповідь: 12, 32, 52, 72, 92. 23, 53, 83, 34, 74, 45,
56, 57, 78, 29, 89, 59.
3. Знайти двоцифрові числа, у яких
куб цифри десятків при діленні на цифру
одиниць, дає остачу, що дорівнює цифрі десятків. Відповідь: 12, 23, 34, 45, 56,
67, 78, 89.
4. (Теорема: m3 = m(mod m +1) та m3 = m(mod m -1), де m >1 )Доведіть, що всі
двоцифрові числа, у яких цифри розташовані послідовно у порядку зростання,
володіють такою властивістю: «куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу, що
дорівнює цифрі десятків.»
5. Знайти
усі двоцифрові числа, у яких куб цифри десятків ділиться на цифру одиниць без остачі.
Відповідь: 22, 42, 62,
82, 33, 44, 63,
93, 84, 64, 55,
66, 77, 88, 28, 48, 68,39, 69, 99.
6. Знайти двоцифрові числа, у яких
куб цифри десятків при діленні на цифру одиниць, дає остачу 6, що дорівнює
цифрі одиниць, зменшеній на 1. Відповідь: 57, 67.
Теорема про остачі: Якщо остача від ділення числа а на b дорівнює с,
то остача від ділення
числа аn на b дорівнює остачі від ділення числа сn на b.
Приклад 1. 13 : 5 = 2 (ост. 3), тоді 13n
:5 дає таку саму остачу, як і 3n: 5.
Розв'язання
1) n = 2, 132:5 = 169:5
= 33 (ост. 4) і 32:5 = 9:5 =
1 (ост. 4);
2) n = 3, 133:5 =
2197:5 = 439 (ост. 2) і 33:5 = 27:5 = 5 (ост. 2);
3) n = 4, 134:5 = 28
561:5 = 5712 (ост. 1) і 34:5 = 81:5 = 16(ост. 1);
4) n = 5, 135:5 = 371
293:5 = 74 258 (ост. 3) і 35:5 = 243:5 = 48 (ост. 3).
Приклад 2. Знайти остачу від ділення числа 2222n на 7.
Розв'язання
1) Знайдемо
остачу від ділення 2222 на 7: 2222 : 7 =
317 (ост. 3).
2) Остача
від ділення 2222n на 7 така сама, як остача від ділення 34
на 7, тобто 4, бо
34:7 = 81:7 = 11 (ост.
4).
Відповідь. 4.
Задача 1. Знайти остачу від ділення числа 22225555 на 7.
Розв'язання
1) Знайдемо остачу від ділення
2222 на 7: 2222 : 7 = 317 (ост. 3).
Остача від ділення 22225555 на 7
така сама, як остача від ділення 35555 на 7.
Знайдемо остачі від ділення 3n на
7 для різних значень n:
n=1, 31:7 = 3:7 = 0
(ост. 3);
n = 2, 32:7 = 9:7 = 1
(ост. 2);
n = 3, 33:7 = 27:7 = 3
(ост. 6);
n = 4, 34:7 = 81:7 = 11
(ост. 4);
n = 5, 35:7 = 243:7 =
34 (ост. 5);
n = 6, 36:7 = 729:7 =
104 (ост. 1);
n = 7, 37:7 = 2187:7 = 312 (ост.
3).
Цикл дорівнює 6.
4) Знайдемо
кількість повних циклів у числі 5555.
5555 : 6 = 925 (ост. 5).
925 повних циклів відкидаємо.
Отже, остача відділення 35555
на 7 така сама, як від ділення 35 на 7, тобто 5.
Отже, і остача від ділення 22225555
на 7 дорівнює 5.
Відповідь. 5.
Задача 2. Знайти остачу від ділення числа 55552222 на 7.
Розв'язання
1) Знайдемо остачу від ділення
5555 на 7:
5555 : 7 = 793 (ост. 4).
Остача від ділення 55552222
на 7 така сама, як остача від ділення 42222 на 7.
Знайдемо остачі від ділення 4n на 7 для різних значень n:
n = 1, 41:7 = 4:7 = 0
(ост. 4);
n = 2, 42:7 = 16:7 = 2
(ост. 2);
n = 3, 43:7 = 64:7 = 9
(ост.1);
n = 4, 44:7 = 256:7 =
36 (ост. 4).
Цикл дорівнює 3.
2) Знайдемо
кількість повних циклів у числі 2222.
2222 : 3 = 740 (ост. 2).
740 повних циклів відкидаємо.
Отже, остача від ділення 42222
на 7 така сама, як і від ділення 42 на 7, тобто 2.
Отже, і остача відділення 55552222
на 7 дорівнює 2.
Відповідь. 2.
Задача 3. Довести, що (22225555+55552222)
ділиться на 7 без остачі.
Доведення.
Оскільки 22225555 при
діленні на 7 дає остачу 5, а 55552222 при діленні на 7 дає остачу
2, а сума цих остач 5+2 = 7 ділиться на 7, то (22225555 +55552222)
ділиться на 7 без остачі, що і треба було довести.
Задача 4. Знайти остачу від ділення числа 7 2003 на 10.
Розв'язання.
1) Знайдемо остачу від ділення 7
на 10: 7: 10 = 0 (ост. 7).
2)Знайдемо остачі від ділення 7n на 10 для різних значень n:
n = 1, 71:10 = 7:10 = 0
(ост. 7);
n = 2, 72:10 = 49:10 = 4 (ост. 9);
n = 3, 73:10 = 343:10 = 34 (ост.
3);
n = 4, 74:10 = 2401:10
= 240(ост. 1);
n = 5, 75 : 10 = 16
807:10 = 1680 (ост. 7).
Цикл дорівнює 4.
3)Знайдемо кількість повних циклів
у числі 2003.
2003 : 4 = 500 (ост. 3).
4)500 повних циклів відкидаємо.
Отже, остача від ділення 72003 на 10 така сама, як остача від
ділення 73 на 10 , тобто 3.
Відповідь. 3.
5. Якою цифрою закінчується число 72003 ?
Розв'язання.
Остача відділення числа 72003
на 10 є останньою цифрою цього числа. Тобто число 72003
закінчується цифрою 3.
Відповідь. 3.
Самостійно виконайте
дві наступні вправи.
6.Знайти остачу від ділення числа 20032007 на 3.
7. Якою цифрою
закінчується 192008 ?
Задачі для самостійного осмислення.
б) Вираз х + 2 ділиться без остачі на 3. Як записати це твердження за допомогою конгруенції?
Знайти множину значень х.
б) Вираз 4х + 3 ділиться
з остачею 2 на число 5. Як це записати за
допомогою конгруенції? Знайти множину значень х.
б) Вираз 5х - 1 ділиться
з остачею 3 на число 4. Як це
записати за допомогою конгруенції? Знайти множину значень х.
б) Вираз а +2 ділиться без остачі на 3. Як записати це твердження
за допомогою конгруенції?
б) Які з чисел 46, 37, 16, -17, -16 конгруентні 7 за модулем 2, 3, 5, 9.
6. Показати, що числа
виду 8k+1, де k=0, 1, 2, ... конгруентні між собою за модулем 8.
7. Довести, що
квадрат будь-якого непарного числа конгруентний
з одиницею за модулем 8.
з одиницею за модулем 8.
8. Показати, що при n непарному, тобто n = 2k±1, число n3
конгруентне 6k+1 за модулем 4.
конгруентне 6k+1 за модулем 4.
9. Довести, що якщо 50а+8b+с º 0 (mod 21), то а+b+8с º 0(mod
21).
10. Перевірити конгруенцію 830 º 34 (mod
55).
11. Перевірити конгруенцію 521º 27 (mod
77).
12. З яким найменшим натуральним числом
конгруентне число
N=8∙22∙1212∙17∙23 за модулем 9?
N=8∙22∙1212∙17∙23 за модулем 9?
13.Чи вірно, що число 8754 конгруентне 4578 за модулем 9?
14. Чи вірно, що число 5647 конгруентне 22 за модулем 9?
15. Чи вірно, що m3-m+7
конгруентне 7 за модулем 6?
16. Чи
вірно, що (2+7)5 = 25+75
(mod 5)?
Немає коментарів:
Дописати коментар