АРИФМЕТИЧНИЙ СПОСІБ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ  КМІТЛИВИХ

1.    Якщо Оля йде до школи пішки, а повертається автобусом, то затрачає на дорогу 1,5 год. Якщо їде туди і назад, то затрачає 30 хвилин. Скільки часу затратить Оля, якщо йтиме до школи і назад пішки?

2.    Картопля подешевшала на 20%. На скільки відсотків більше можна купити картоплі на ту саму суму?

3.    Я йду до школи 30 хвилин, а мій брат – 40 хв. Через скільки хвилин я наздожену брата, якщо він вийшов на 5 хвилин раніше, ніж я?

4.    Проїхавши половину шляху, пасажир заснув і спав до тих пір, поки не залиши­лося проїхати половину шляху від того, що він проїхав сплячим. Яку частину шляху він проїхав сплячим?

5.    Чи можна 173 числа, кожне з яких 1 або -1, розбити на дві групи так, щоб сума чисел в групах була однакова?

6.    Учень прочитав книгу за три дні. За 1-ий день він прочитав 0,2 всієї книги і ще 16 сторінок, за 2-ий день - 0,3 остачі і ще 20 сторінок, а за 3-ій - 0,75 нової остачі і ще 30 сторінок. Скільки сторінок у книжці?

7.    Зафарбований куб з ребром 10 см розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки є кубиків з однією, двома, трьома зафарбованими гранями?

8.    Чи можна розрізати шахову дошку на прямокутники 1х 3?

9.    За книгу заплатили 50 коп, і залишилось заплатити стільки, скільки залишилось би заплатити, якби за неї заплатили стільки, скільки залишилось заплатити. Скільки коштує книга?

10.          Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового. Знайти початкове двоцифрове число.

11.          Один множник збільшили на 10%, а другий зменшили на 10%. На скільки відсотків змінився при цьому добуток?

12.          Кількість відсутніх учнів становить 1/6 присутніх. Після того, як із класу вийшов один учень, кількість відсутніх стала дорівнювати 1 /5 кількості присутніх. Скільки учнів у цьому класі?

13.          Вчора кількість учнів, які прийшли до школи, була у 8 разів більша від тих, що були відсутні. Сьогодні не прийшло ще 2 учні, і тоді виявилося, що відсутні 20% від кількості присутніх. Скільки учнів у класі?

14.          В одній посудині знаходиться 2а літрів води, а інша порожня. За перший раз із першої посудини в другу переливають половину води. За другий раз переливають 1/3 води з другої посудини в першу, а потім 1/4 води з першої посудини в другу і т.д. Скільки води буде в першій посудині після 1997 переливань?

15.          До трицифрового числа зліва приписали цифру 3, і воно збільшилося в три рази. Яке це число?

16.           Бригада косарів 1-го дня скосила половину луки і ще 2 гектари, а 2-го дня – 25% того, що залишилося і останні 6 гектарів. Знайти площу луки.

АРИФМЕТИЧНИЙ СПОСІБ  РОЗВ’ЯЗУВАННЯ  ЗАДАЧ

1. Довести, що бісектриси трикутника не можуть перетинатися під прямим кутом.

Доведення.

Якщо припустити, що бісектриси перетинаються під прямим кутом, тоді маємо таке протиріччя. Сума половинок двох кутів трикутника рівна прямому куту, тоді сума двох цілих цих кутів рівна двом прямим кутам, тобто 180 градусів. Але у будь-якого трикутника сума усіх трьох кутів рівна 180 градусів.

2. Повна діжечка квасу має вагу 34 кг,  а наповнена на половину має вагу 17,75 кг. Яка вага порожньої діжки?

Розв’язання.

17,75∙2 -34 = 1,5 кг

3. Чи може добуток  тринадцяти натуральних чисел дорівнювати сумі цих чисел?

Розв’язання .

Наприклад, 4∙5∙1∙1….∙1 = 4+5+1+1+….+1.

Кондуктор пасажирського поїзда, швидкість якого 50 км/год, помітив, що зустрічний товарний поїзд, який йде зі швидкістю 40 км/год  пройшов повз нього за 10 сек. Визначити довжину товарного поїзда.

Розв’язання.

40+50 = 90 (км/год)  швидкість зближення поїздів

90 000:3600 = 25 (м/с) швидкість зближення поїздів

25∙10 = 250 (м)  довжина товарного поїзда.

4. Пасажирський поїзд долає відстань між Львовом і Києвом за 10 год, а товарний цю відстань долає за 15 год. Через який час ці поїзди зустрінуться.

Розв’язання.

Вся відстань це одне ціле. Тоді (1/10)+(1/15) =(1/6) – це швидкість зближення двох поїздів. Отже за 6 годин поїзди зустрінуться.

5. Дід і баба разом випивають діжечку квасу за 10 діб, а  один дід таку ж діжечку квасу випиває за 15 діб. За скільки діб вип’є таку  ж діжечку квасу тільки баба?

Розв’язання.

За НСК(10;15) = 30 діб обоє разом вип’ють 3 діжки, а один дід вип’є 2 діжки, отже баба за 30 діб вип’є одну, 3-2=1.

6. Дівчинка наклеює в альбом картинки. Якщо вона на кожну сторінку наклеїть по 4 картинки, то в альбомі не вистачить місця для 20 картинок, коли ж вона на кожну сторінку наклеїть по 6 картинок, то в альбомі залишиться 5 сторінок вільними. Скільки було у дівчинки картинок і скільки сторінок в альбомі?

Розв’язання.

20:4 = 5,  6∙5 = 30,  20+30 = 50,  6-4 = 2,  50:2 = 25 сторінок в альбомі. 4∙25+20=120 картинок.

7. Є 70 монет по 20 коп  і по 15 коп. на однакові суми. Скільки є монет кожної вартості окремо?

Розв’язання.

Цю задачу можна розв'язувати кількома способами.

 1-й спосіб.   Спосіб спроб. Нехай монет кожної вартості буде по 35 коп. Тоді їх сума становитиме (20∙35 = 700) 700 коп. і (15∙35 = 525) 525 коп. Різниця між сумами становитиме (700–525 = 175) 175 коп. Замінивши одну 20-копійкову монету 15-копійковою, мати­мемо 34 монети по 20 коп., на суму 680 коп. і 36 монет по 15 коп. на суму 140) коп., причому різниця між сумами становитиме (680–540= 140) 140 коп. При заміні 20-копійкової монети 15-копійковою ми змен­шимо різницю на (175 – 140 = 35) 35 коп. Оскільки початкова різ­ниця становила 175 коп., то таку заміну слід виконати (175 : 35 = 5) 5 раз, тобто, монет по 20 коп. залишиться 35 – 5 = 30, а по 15 коп. буде 35+ 5= 40.

2-й спосіб. Він грунтується на способі спроб. Виходимо з припущення, що всі 70 монет вартістю по 15 коп. Тоді загальна сума грошей становитиме (15 -70= 1050) 1050 коп. При заміні 15-копій­кової монети 20-копійковою різниця сум монет кожної вартості ста­новитиме (20 + 15 = 35) 35 коп., тому що одна сума зменшилась на 15 коп., а друга збільшилась на 20 коп., що дає 35 коп. Але монет кож­ної вартості має бути на ту саму суму, тому заміну 15-копійкових монет 20-копійковими слід виконати (1050 : 35 = 30) 30 раз. Монет по 20 коп. було 30 шт., а монет по 15 коп. було (70–30 = 40) 40 шт. Для більшої наочності можна запис оформити таблицею.

3-й спосіб.   Виходимо з припущення, що всі 70 монет були вартістю по 20 коп.  кожна. Розв'язування і міркування аналогічні до тільки що наведених.

4-й спосіб. Нехай усі 70 монет були по 20 коп. кожна. Тоді сума їх буде (20-70 = 1400) 1400 коп. Якби всі 70 монет були 15-копійковими, то сума їх становила б (15∙70 = 1050) 1050 коп. Різ­ниця в сумах становитиме (1400–1050 –350) 350 коп. Але замінюючи 20-копійкову монету 15-копійковою, ми змінюємо суму на (20 + + 15 = 35) 35 коп. Тому монет по 15 коп. має бути більше, ніж монет по 20 коп., на (350 : 35 = 10) 10 шт. Задача зводиться в цьому ви­падку до задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею: «Є 70 штук монет вартістю по 15 коп. і 20 коп., причому монет по 20 коп. на 10 шт. менше. Скільки монет кожної вартості окремо?»

5-й спосіб. Спосіб грунтується на застосуванні найменшого спільного кратного двох чисел. НСК (20; 15) = 60. На суму 60 коп. слід узяти (60 : 20 = 3) 3 монети по 20 коп. і (60 : 15 = 4) 4 монети по 15 коп., що становитиме (4+3 = 7) 7 монет. Це треба повторити (70 :7 = 10) 10 раз. Але тоді буде взято монет по 20 коп. (3∙10 = 30) 30 шт. і монет по 15 коп. (4∙10 = 40) 40 шт.

6-й спосіб. Тому що монети кожної вартості повинні мати однакові суми, то їх кількість обернено пропорціональна їх вартості. Якщо монет по 20 коп. було х₁, а монет по 15 коп. було х₂, то х₁ : х₂ =  15 : 20, або х₁: х₂ = 3 : 4. Загальну кількість монет (70 шт.) треба поділити на дві частини пропорціонально числам 3 і 4. Розглядаючи десяткові дроби, цю саму задачу можна розв'язати в гривнях.

Аналогічно до розглянутої можна розв'язати й таку задачу: «На двох шальках терезів стоять 16 гир. На одній шальці всі гири по 5 кг кожна, на другій – по 3 кг. Скільки гир на кожній шальці, якщо терези перебувають у рівновазі?»

Задачу   можна   розв'язати   всіма   способами,   розглянутими   при

розв'язуванні попередньої задачі.

Слід зауважити, що найбільш раціональними способами розв'язу­вання цих задач є 2-й, 3-й і 4-й способи.

НЕСТАНДАРТНІ ЗАДАЧІ

 ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

ПЕРША ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1.  Біля виходу з кінотеатру зустрілися Петрик і Миколка. З їхньої розмови з'ясувалося, що перед рядом, у якому сидів Петрик, було стільки рядів, скільки за рядом, де сидів Ми­колка, а перед рядом, у якому сидів Миколка, - втричі менше. На скільки рядів Миколка сидів ближче до екрана порівняно з Петриком, якщо в залі 29 рядів?    

А. 7.   Б. 14.   В. 15.    Г. 21.

2. Щоранку Івась виходивдо школи на 6 хви­лин пізніше від своєї сестри Олени, але йшов удвічі швидше, ніж вона. Через скільки хвилин він наздоганяв Олену?

А. Визначити не можна.     Б. Через 3 хв. В. Через 5 хв.        Г. Через 6 хв.

3. На талькових терезах потрібно зважити 15 кг борошна, маючи тільки гирю 1 кг. Яка найменша кількість зважувань для цього по­трібна? 

 А. 3.  Б. 4.  В. 5. Г. 6.

4. У четвертому класі навчається 30 дітей. У диктанті Незнайко зробив 14 помилок, більше від усіх. Яка найбільша кількість учнів, що зро­били однакову кількість помилок, обов'язково знайдеться в класі, якшо є й такі, хто не зробив жодної помилки?

А. 2.   Б. 3. В. 4.  Г. 5.

5.  Скільки є різних способів, шоб із трьох різних мотузок зробити 8 мотузочок, якщо розрізати кожну мотузку? Два способи вважаються різними, якшо вони відрізняються кількістю розрізів хоча б однієї мотузки. 

А. 4.   Б. 6.   В. 8.   Г. 10.

7.  Автомат щосекунди замінює зображене на його екрані число добутком його цифр, збільше­ним на 18. На екрані автомата з'явилося число 37. Яке число буде на екрані автомата через 35 с?

А. 45. Б. 39.    В. 38.    Г. 26.

8. В Олени було 5 великих матрьошок. У де­яких із них лежало по 5 маленьких, а в деяких із маленьких лежало по 5 ще менших матрьошок. Усього в Олени 40 матрьошок. Скільки з них не містить усередині менших?
 А. 33.        Б. 34.   В.  35.    Г. Визначити неможливо.

9. Діти збирали ягоди. Дівчаток і хлопчиків було порівну. Кожен зібрав цілу кількість кіло­грамів ягід. Коли вони вишикувалися парами, дівчинка з хлопчиком, то з'ясувалося, що в кож­ного хлопчика кілограмів ягід чи втричі більше, чи втричі менше, ніж у дівчинки з його пари. Яку кількість кілограмів ягід із наведених не могли діти зібрати всі разом?

А. 20. Б. 24.  В. 26.      Г. 28.

10.      Футбольна команда «Вимпел» у чемпіонаті країни з футболу провела 15 матчів, при­чому жоден із них не закінчився внічию. Відо­мо, що з кожних 6 матчів принаймні один за­ кінчився перемогою «Вимпела», а з кожних 11 матчів принаймні один закінчився його поразкою. Скільки всього перемог одержав «Вимпел» у цих 15 матчах?

А. 8.  Б. 9.   В. 10.        Г. 11.

11.  Сума двох натуральних чисел дорівнює 800. Одне з них закінчується цифрою 8. Якщо її закреслити, то матимемо друге число. Чому дорівнює різниця цих чисел?

А. 656.         Б. 574.   В. 665.         Г. 547.

12.  Яка сума очок - 4 чи 9 — має більше шансів з'явитися при киданні двох гральних кубиків?

А. 4.   Б. 9.  В. Шанси однакові. Г. Визначити неможливо.

13.  У класі слухняних дівчат стільки, скільки неслухняних хлопців. Кого в класі більше: слух­няних дітей чи хлопців?

А. Слухняних дітей.    Б. Хлопців. В. Однаково. Г. Визначити неможливо.

14.  У квадраті позначено чотири вершини і, окрім того, по одній точці на середини кожної зі сторін. Скільки можна побудувати  чотирикутників з вершинами у позначених точках?
А. 25.   Б. 36.  В. 48.  Г. 50.

16.  На площині провели чотири прямі. На першій позначили 5 точок, на другій - 6 точок, на третій — 7 точок, на четвертій — 8 точок. Яку найменшу кількість різних точок можна позна­чити? 

   А. 20.        Б. 22.   В. 24.    Г. 26.

17.  У черзі стоять Юрко, Михайлик, Воло­дя, Сашко й Олег. Юрко стоїть перед Михайликом, але після Олега. Володя і Олег не стоять поруч. Сашко не стоїть поруч ні з Олегом, ні з Юрком, ні з Володею. Хто стоїть посередині?

  А. Юрко.  Б. Михайлик.   В. Володя.         Г. Сашко.

ДРУГА ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1. Знайко вирішив удосконалити розміщен­ня фігур на шахівниці. У нього збереглося по 16 фігур з кожного боку: 8 пішаків, 2 тури, 2 сло­ни, 2 коня і 2 правителі (замість ферзя і коро­ля). Він запропонував їх розмістити так, щоб між двома конями стояла одна фігура, між дво­ма слонами - дві, між двома турами - три, між двома правителями - чотири фігури. Реалізуй­те пропозицію Знайка.

2. Двоє школярів грають у таку гру. Вони по черзі записують доданки. Доданками можуть бути довільні натуральні числа від 1 до 8 включ­но. Перемагає той, хто запише такий доданок, щоб сума всіх виписанихдоданків дорівнювала 100. Як має грати перший, щоб забезпечити собі виграш?  

3. У садовому господарстві збирачам мали­ни за кожен зібраний кілограм ягід платять по 5 грн. Якщо збирач здає менше ніж 10 кг, то він одержує тільки гроші за зібрані ягоди. Якщо збирач здає 10 кг і більше, то він ще одержує десяту частину зібраних ягід. Група учнів підря­дилася збирати ягоди, щоб заробити гроші на подорож. Результати їхньої роботи подані в таб­лиці.      

Маса зібраних ягід, кг	7	8	9	10	11	12	13
Кількість учнів	5	4	3	2	3	2	1

а)         Скільки учнів було в групі?

б)        Скільки ягід вони зібрали?

в)         Скільки грошей їм заплатили за всі зібрані ягоди?

г)         Скільки учнів одержали за роботу і гроші,  і ягоди?

д) Скільки ягід одержали безкоштовно учні, які виконали необхідну норму?

4. Є скринька з п'ятьма білими й однією чор­ною кулею. З цієї скриньки навмання вийма­ють по одній кулі (не повертаючи їх назад) доти, поки не з'явиться чорна куля. За кожну гру при­суджується стільки очок, скільки всього вийня­то куль, включаючи й останню чорну. Наприк­лад, якщо чорна куля з'явилася відразу, гравець одержує одне очко, якщо перша куля виявила­ся білою, а друга — чорною, то два очки і т. д.

а)         Яку кількість очок може одержати гравець у цій грі?   

б)        Порівняйте шанси одержання одного, двох, трьох і т. д. очок.

в)         Проведіть велику кількість дослідів, на­ приклад 200, щоразу після появи чорної кулі, повертаючи кулі в скриньку і ретельно пере­мішуючи їх. За результатами дослідів спробуй­те відповісти, яку найбільш імовірну кількість очок можна заробити в такій грі.

5. З пакета, у якому 2200 г борошна, необхідно відсипати 2 кг борошна. Як це зробити за допомо­гою талькових терезів без гир, якщо є ще два па­кети на 600 г  і 1300 г?

6. Кабінки розважального атракціону «Ко­лесо спостереження» послідовно пронумеровані числами 1, 2, 3 і т. д. Скільки всього кабінок, якщо тоді, коли кабінка під номером 30 займає найвищу позицію, кабінка під номером 12 -найнижчу? 

7. Розріжте фігуру тупокутний трикутник, зображену на малюнку, на сім  тупокутних трикутників.

ЗАДАЧІ НА ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ ЧИСЕЛ

1.  Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — одиниці. Знайти всі  такі числа, знаючи, що вони діляться без остачі на 72.

2.  Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — четвірки. Знайти всі такі числа, знаючи,   що   вони  діляться  без  остачі на 315.

3.  Дано натуральне число А.   Знаючи,   що   сума цифр числа А — це число В,   та число С — сума цифр числа В, обґрунтуйте подільність суми  А+В+С на найменше непарне просте число.
Якщо   до   двоцифрового   числа  додати  суму його цифр, вийде число, написане тими самими цифрами в зво­ротному порядку. Знайти це число.

4.  Якщо до  двоцифрового   числа   додати   суму його цифр,   а   потім зробити це саме із  знайденим числом, то вийде двоцифрове число, яке складається з тих самих цифр, що й початкове. Яке це число?

5.  Знайти натуральне  число, яке   більше   від   суми   його   цифр у 12 раз.

6.  Знайти  натуральне  число,   яке   більше   від   суми  його цифр в 11 раз.

7.  Знайти число, яке дорівнює квадрату суми його цифр.

8.  Знайти чотирицифрове число, яке дорівнює четвертому степеню суми його цифр.

9.  Знайти   чотирицифрове   число,   яке  в  чотири рази більше від числа, записаного тими самими цифрами в зво­ротному порядку.

10. Записано першу тисячу натуральних  чисел. Яку цифру використано частіше від інших?

11. Довести, що не існує точного  квадрата,   більшого за 9, всі цифри якого однакові.

12. Визначити дві останні цифри числа 7²⁰⁰⁷?.

13. Визначити дві останні цифри числа 4²⁰⁰⁷.

14. Визначити дві останні цифри числа 56⁵⁶ .

15. Знайти всi натуральнi числа п, для яких числа п, 2п, 5п та 8п є дев’ятизначними, причому запис кожного з них мiстить всi цифри вiд 1 до 9 по одному разу.

Відповіді:

1.  41112, 11160. Останні три цифри діляться на 8, а сума їх цифр 9 або 18. 

2.    44415.

3.  Використати ознаку подільності на 3.

4.    45.

5.   21.

6.   108.

7.   198.

8.   81.

9.  2401, досить перевірити четверті степені чисел 6, 7, 8, 9.

10.  

11. Одиниця.

15. Оскiльки число 8п не перевищує 987654321, то п ^ 123456790¹₈. Але п не менше
за 123456789. Тому залишається перевiрити, що число п = 123456789 задовольняє
умову. Вiдповiдь: 123456789.

ЗАДАЧІ НА РОЗВИТОК МИСЛЕННЯ

1.  У хлопчика стільки сестер, скільки і братів, а у його сестри вдвічі менше сестер, ніж братів. Скільки в цій сім’ї братів і скільки сестер?

2.  В двох руках всього 30 зошитів. Якби з першої руки перекласти у другу 2 зошити, тоді у першій руці стало б вдвічі більше, ніж у другій. Скільки зошитів було в кожній  руці?

3.  У Мирослави були гроші і їй не вистачало 7 грн, а Каріні не вистачало 2 грн, щоб купити по коробці кольорових олівців. Коли вони склали свої гроші, їм не вистачало грошей, щоб купити навіть одну коробку.  Скільки коштує коробка олівців?

4.  У коробці лежать олівці: 7 червоних і 5 синіх. Сліпий кіт Базиліо  бере з неї олівці і малює однокольорові монетки. Скільки треба взяти коту олівців, щоб серед намальованих монеток було не менше двох червоних і не менше трьох синіх?

5.  Як від шматка матерії в 2/3 метра відрізати півметра, не маю під рукою метра?

6.  Дід привіз на базар огірки. Коли він почав рахувати їх десятками, то не вистачало двох огірків до повного  числа десятків. Коли він став рахувати по 12(дюжинами), то залишилось 8 огірків. Скільки огірків привіз дід на базар, якщо їх було більше 300, але менше 400?

7.  Скільки разів протягом доби годинникова та хвилинна стрілка співпадають?

8.  Знайти два числа, щоб їх сума була втричі більше їх різниці і вдвічі менше їх добутку.

9.  Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз  років батьку?

10. Розставте у записі  4∙12+18:6+3 дужки так, щоб результат був найбільшим.

Відповіді:

1.  Три сестри, чотири брати.

2.  8 зошитів в другій руці, 22 зошита — в першій.

3.  8 гривень.

4.  10 олівців.

5.  Скласти кусок навпіл, потім ще раз навпіл, отримаємо 1/6 метра. Відняти цю довжину від 2/3 метра, отримаємо половину.

6.  Якщо відкласти в сторону 8 огірків, тоді кількість огірків ділиться на 10 і 12, тобто на 60. Отже 360+8=368 огірків привіз дід.

7.  23 рази.

8.  3 та 6.

9.  Сину 10, батьку 40.

10. 4∙(12+18:6+3)=72.

ЗАДАЧІ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ЦИФР НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

1.  Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо це число до­дати до числа, записаного тими самими цифрами, але в зворот­ному порядку, то буде 55. Знайдіть двоцифрове число.

Відповідь: 23.

2.  Якщо до задуманого двоцифрового числа дописати справа і зліва цифру 4, то утворене  чотирицифрове число буде в 54 рази більше від задуманого. Яке число задумали?

Відповідь: 91.

3.  Перша зліва цифра шестицифрового числа дорівнює 1. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то число збільшиться у 3 рази. Знайдіть шестицифрове число.

Відповідь: 142 857.

4.  Сума цифр двоцифрового числа 15. Якщо це число помножити на 7 і від добутку відняти двоцифрове число, записане тими са­мими цифрами, що і початкове, але в зворотному порядку, тоді­
станемо 387. Знайдіть двоцифрове число.

Відповідь: 69.

5.  Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати це двоцифрове число, то утворене чотирицифрове число буде більше за почат­кове у 77 раз. Знайдіть це число.

Відповідь: 15.

6.  Цифра десятків задуманого числа на 4 менша від цифри одиниць. Якщо між цифрами цього числа вписати двоцифрове число, мен­ше від задуманого на 1, то утворене чотирицифрове число буде в 91 раз більше від задуманого. Яке число задумано?

Відповідь: 37.

7.  Якщо деяке двоцифрове число помножити на суму його цифр, то в результаті буде 418. Якщо це двоцифрове число поділити на суму його цифр, то в частці буде 3 і в остачі 5. Знайдіть це  число.

Відповідь: 38.

8.  Хлопчик   купив 44 марки   вартістю  4 коп.,  5 коп.   і  10 коп. за штуку, заплативши за марки кожного виду  однакові суми грошей. Скільки марок кожного виду купив хлопчик?

Відповідь: 20 марок по 4 коп., 16 марок по 5 коп. і 8 марок по 10 коп.

9.  Для нумерації книжки використали 2893 цифри. Скільки сторінок має книжка?

Відповідь: 1000.

10. Чи вірно, що різниця двох послідовних натуральних чисел не ділиться на 2?

Відповідь: так вірно.

11. Чи вірно, шо сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6?

Відповідь: так вірно.

12. Чи вірно, що сума будь-яких шести послідовних цілих чисел   ділиться на 5?

Відповідь: не завжди вірно.

13. Чи вірно, що сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на 8.

Відповідь: не  вірно.

14. Трицифрове число має х сотень, у десятків і z оди­ниць. Знайдіть різницю між цим числом і сумою чисел х,у, z.

Відповідь: 99х + 9у.

ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО  МИСЛЕННЯ

Завдання 0

1.  Василь − ровесник Петра, а Петро − ровесник Сергія. Чому кажуть, що Сергій − ровесник Василя?

2.  Тарас нижчий від Олега, Олег нижчий від Петра. Чи випливає з цієї умови, що Тарас нижчий від Петра?

3.  Галя на зріст не менша за Олю. Чи правда, що Оля менша за Галю?

4.  Оля − сусідка   Оленки,   а   Оленка − сусідка   Наталки.  Чи можна вважати, що Оля − сусідка  Наталки?  В якому разі дівчатка будуть сусідками?

5.  Петро дружить з Віктором, а Віктор дружить з Сергієм. Чи випливає з цього, що Петро дружить з Сергієм?

6.  Андрій бігає швидше від Сергія,  але повільніше,  ніж Юрко. Хто бігає найшвидше, а хто найповільніше?

7.  Хлопчик  увійшов  у ліфт  дев'ятиповерхового  будинку. Чому можна вважати, що хлопчик знаходиться у цьому будинку?

8.  Олівець лежить у пеналі, якого заховали у портфель. Чи можна сказати, що олівець знаходиться у портфелі?

9.  Ніна, яка живе на четвертому поверсі, піднімається на 60 східців. На скільки східців піднімається Оля, яка живе на дру­гому поверсі в тому самому під'їзді?

10. Три хлопчики сидять на лавці. Олег не крайній. Де сидить Олег?

11. На подвір'ї було 3 курки, стільки ж індиків; качок менше, ніж індиків, але більше, ніж гусей. Скільки на подвір'ї всіх птахів?  (Вкажи більше ніж одну відповідь).

12. Скільки днів у році, якщо один із місяців розпочався і закінчився у четвер?

13. В якому разі квітень має 5 субот?

14. В якому місяці середа тричі припадає на парні числа?  Якого числа буде друга субота?

15. Оля  має три  яблука,  а  Тарас − 5.  Тарас віддав Олі 1 яблуко. Чи змінилась кількість яблук, яку мають діти?

Завдання  1

1.Які     цифри     зашифровані     буквами:     аа + b = bсс, аа +  аb= ссb

2. Добуток двох чисел — парне число. Чи буде сума цих чисел парним числом?      -

3. Доведи, що коли сума двох натуральних чисел є число непарне, то добуток цих чисел обов'язково буде парним.

4. Відомо, що добуток двох натуральних чисел — непарне число. Яким числом буде сума цих чисел? 

5. Скількома нулями закінчується добуток усіх натураль­них чисел від 1 до 30?

6. Допиши два числа, яких не дописав попередній учень, якщо числа в ряду дібрані за певним правилом. Обгрунтуй, чому саме ці числа можна записати:

а) 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ?, ?;

б)  4, 7, 12, 21, 36, ?, ?;

в) 2, 3, 5, 9, ?, 33, ?;

г) 1, 5, 6, 11, ?, 28, ?.

7. Скільки в кімнаті котів, якщо в кожному з чотирьох кут­ ків сидить по одному коту і проти, кожного кота — по три коти.

8. Є п'ять ланок ланцюга по три кільця в кожній. Скільки кілець треба розірвати і знову скувати, щоб зробити з усіх ланок один ланцюг?

9. На столі лежать 18 олівців. Двоє учнів по черзі беруть один, два або три олівці. Програє той, кому залишилось взяти останній олівець. Як повинен грати перший учень, щоб примусити свого суперника взяти останній олівець?

10. Напиши найменше і найбільше шестицифрові числа, всі цифри в яких різні. Як зміниться відповідь, якщо в умові цієї задачі опустити фразу про те, що всі цифри в цих числах різні?

11. Назви 3 останні цифри добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32. Скільки останніх цифр числа можна назвати відразу, без обчислень? Як найпростіше визначити, скільки десятків міль­ йонів у цьому числі?

12. Якщо від двоцифрового числа відняти 3, то різниця по­ділиться на 3. Якщо до цього числа додати 4, то сума ділиться на 4. Якщо від цього ж числа відняти 5, то і ця різниця теж ділиться на 5. Знайди найменше таке число. Чи можна твердити, що шукане число ділиться на 15?

13. У трьох ящиках 400  яблук.  Кількість яблук першого ящика становить половину кількості яблук другого ящика і третину числа яблук у третьому ящику. Скільки яблук у кожному ящику?

14. Задумай число, помнож  його на 4, до добутку додай число 19. Знайдену суму поділи на 4, від результату відніми задумане число   буде 4,75. Обгрунтуй, чому результат не залежить від задуманого числа.

15. Моторний  човен  наздоганяє  пліт.  Початкова  відстань між ними 36 км. Швидкість плоту 2,8 км/год, а швидкість човна 10 км/год. Яка буде відстань між ними через і годин, якщо     t = 3, 4, 5, 6, 7? Через скільки годин човен наздожене пліт?

Завдання  2

1.  Знайди найбільше натуральне число, яке є розв'язком нерівності:

а.)   15x< 460;     б)   30у < 312.

2.  У коробці лежать олівці: 7 червоних і 5 синіх. Виймають олівці в темноті. Яку найменшу кількість олівців потрібно взяти, щоб серед них було не менше як два червоних і три синіх?

3.  У шафі лежать туфлі одного розміру: 6 пар чорних і 6 пар коричневих. Знайди найменшу кількість туфель, які треба взяти ' з шафи, щоб серед них була хоча б одна пара (лівий і правий туф­лі) одного кольору.

4.  В ящиках лежать 200 гумових м'ячиків однакових роз­мірів: зелених, червоних, синіх та білих. У темноті вибирають кілька  м'ячиків.  Яку найменшу кількість м'ячиків слід взяти, щоб серед них обов'язково було 8 однаково пофарбованих?

5.  З 8 сірників склади прямокутну фігуру найбільшої площі.

6.  Периметр прямокутника, довжина і ширина якого вира­жаються натуральними числами, дорівнює   16 см.  Скільки  існує різних прямокутників з таким периметром? Який з них має найбіль­шу площу?

7.  Напиши найбільше число, в якому всі цифри різні.

8.  Напиши найменше натуральне число, складене з різних цифр.

9.  Треба якнайшвидше підсмажити три грінки. На сковоро­ді вміщуються лише дві. Який найменший час витрачається на підсмаження трьох грінок, якщо один бік грінки підсмажується за 1 хв?

10. Бабуся розвела гусей і кролів. У всіх них разом 25 голів і 54 лапки. Скільки гусей і скільки кролів має бабуся?

11. У сім'ї 4 сини. Кожний з них має одну сестру. Скільки дітей в цій сім'ї?

12. Знайди суму всіх трицифрових чисел, записаних цифрами 1, 0, 2 так, що всі цифри у кожному числі різні.

13. Мати в 11 разів старша від доньки. Через два роки вона буде в 7 разів старша від неї.  Скільки років матері і доньці?

14. Досліди, від якого з двох чисел 60 і 90 слід відняти деяке число х, щоб добуток різниці на друге число був більшим.

15. У двох класних кімнатах 68 учнів. Коли з першої кім нати вийшло 20 учнів, а з другої 30 учнів, то в цих кімнатах за­ лишилося порівну учнів. Скільки учнів у кожній кімнаті?

Завдання  3

1.  Сума двох чисел більша за одне з них на 7 і більша за друге на 6. Чому дорівнює ця сума?

2.  Сума чотирьох  послідовних  цілих  чисел  дорівнює 66. Знайди ці числа.

3.  Для   нумерації   сторінок   підручника   використали   312 цифр. Скільки сторінок в цій книжці? Скільки цифр потрібно для нумерації сторінок книжки, яка має 160 сторінок?

4.  Якщо  від задуманого трицифрового числа  відняти   10 і різницю поділити на 10, то в остачі залишиться 6. Якщо від заду­ маного числа відняти 9 і нову різницю поділити на 9, то в остачі залишиться 6. Якщо від задуманого числа відняти 8 і нову різницю поділити на 8, то теж дістанемо остачу 6. Знайди задумане число. Чи  зміг би ти  скласти  аналогічну  задачу  з  іншими  числами?

5.  При діленні деякого числа на 120 дістали остачу 40. Чи поділиться це число на 20?

6.  В ряд записано сто чисел  1234567891011...9899100. Які цифри слід закреслити, не переставляючи залишених, щоб утвори­ лось найбільше 92-цифрове число?

7.  Склади вирази, у кожний з яких входили б лише знаки дій і чотири рази цифри 2 так, щоб їх значення дорівнювало чис­лам: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

8.  У запису 88888888 постав між деякими цифрами знак додавання так, щоб вийшов вираз, значення якого дорівнює 1000.

9.  У запису 1 23456789 постав між деякими цифрами знак «плюс» або «мінус» так, щоб вийшов вираз, значення якого дорівнює 100:       .

10. Скількома способами можна записати число 50 у вигляді суми двох парних чисел (записи, які відрізняються лише порядком доданків, вважають однаковими)?

11. Скількома способами можна записати число 10 у вигляді суми чотирьох непарних чисел?

12. У касира є купюри по 5 крб. і 10 крб. Скількома способами він може дати здачу 50 крб.?

13. Знайди суму всіх трицифрових чисел, які можна записати за допомогою цифр 1, 2 і 3 так, щоб у кожному числі всі цифри були різні.

14. Із 100 іноземних туристів 75 знали німецьку мову і 83 − французьку. Скільки туристів знали і французьку і німецьку мови одночасно?

15. Є  три   посудини:   в  одну  входить  8 л,  у  другу − 5 л, а в третю −3 л. Перша посудина наповнена водою, а дві інші − порожні. Як за допомогою цих посудин відміряти 1 л води? Як від­ міряти 4 л води?

Завдання 4

1.  У підвалі стоять 7 повних бочок, 7 бочок, заповнених наполовину і 7 порожніх бочок. Як розподілити ці бочки між трьо­ма вантажними автомобілями, щоб на кожному з них було 7 бочок і на всіх автомобілях був однаковий вантаж?

2.  Є дві посудини і глечик. В одну посудину входить 5 л, а в другу 3 л. Як за допомогою цих посудин налити в глечик 4 л води з водопровідного крана?

3.  В акваріумі, основа якого — квадрат із стороною 32 см, рівень води становить 36 см. Купили новий акваріум довжиною 36 см і шириною 32 см, у який перелили воду з першого акваріума. Чи можна без детальних обчислень сказати, який рівень води став у новому акваріумі?

4.  Пофарбований куб із стороною 12 см розрізали на кубики із стороною 2 см. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані, скільки — 2 і у скількох лише одна грань пофарбована? Скільки кубиків зовсім непофарбованих?

5.  Чи можна з чотирьох шматків дроту довжиною 22 см, не розрізаючи їх, скласти каркас прямокутного паралелепіпеда з ребрами 5 см, 7 см і 10 см?

6.  У басейні,  горизонтальне дно  якого  має  площу   1 га, міститься 1 000 000 л води. Чи можна в цьому басейні проводити змагання з плавання?

7.  Пішохід пройшов певну відстань із швидкістю 6 км/год, а  повертався  назад  із   швидкістю  4 км/год.  З   якою середньою швидкістю ішов пішохід?

8.  У двох баках по 540 літрів води. З першого бака витікає по 25 л за хвилину, а з другого — по 15 літрів за хвилину. Через скільки хвилин у другому баку залишиться води в 6 раз більше, ніж у першому?

9.  Де слід поставити дужки, щоб рівність 35 − 1,5 ∙ 104 −  1428 : 14 = 32 стала правильною?

10. У п'ятицифровому числі друга  цифра – 6,  а  четверта цифра – 8. Як зміниться величина цього числа, якщо ці цифри поміняти місцями, а інші залишити без змін?

11. Під час опитування 100 учнів з'ясувалося, що 48 з них виписують журнал «Барвінок», 34 учні — «Соняшник», а 27 виписують обидва ці журнали. «Юний технік» виписало 20 чоловік, і усі вони не виписали жодного іншого журналу. Скільки з опита­них учнів зовсім не виписують журналів?

12. У хлопчика стільки ж сестер, скільки й братів, а у його сестри братів у 2 рази більше, ніж сестер. Скільки у цій сім'ї дітей?

13. На столі лежать 5 різних ключів, кожен з яких підходить лише до однієї з п'яти валіз. Яку найменшу кількість проб треба зробити, щоб знайти для кожної валізи відповідний ключ?

14. (Задача Льюїса Керрола). У жорстокому бою 70 із 100 піратів  втратили  око, 75 — одне вухо, 80 одержали  поранення в руку і у 85 було поранено ногу. Яка мінімальна кількість могла бути тих, хто одержав одночасно всі чотири поранення?

15. Додали два числа. їх сума виявилась на 6 більше від другого доданку. Знайти пер­ший доданок.

16. Додали два числа. Виявилось, що перший доданок на 12 менший за суму. Знайти дру­гий доданок.

17. Знайти найбільше значення суми двох двоцифрових чисел.

18. Знайти найменше значення суми двох чотирицифрових чисел.

ЧИСЛОВІ  ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОСМИСЛЕННЯ.

1.  Знайти остачу відділення 9⁴⁵+17 на 56.

2.  Знайти остачу від ділення 7⁵⁰+3 на 43.

3.  Знайти остачу від ділення 8¹⁰⁰+11¹⁰⁰ на 19.

4.  Довести, що вираз 6⁵⁰+7²⁵ ділиться без остачі на 11.

5.  Знайти останні три цифри числа 123⁴⁰².

6.  Знайти останні дві цифри числа 3

7.  Знайти останні дві цифри числа 4    .

8.  Довести, що вираз 8¹⁶+8 ділиться без остачі на число 19.

9.  Знайти останні дві цифри числа .

10.  Довести, що вираз 4²⁰+4² ділиться без остачі на число 17.

11. Знайти таке а, при якому вираз 5²⁴+7а ділиться без остачі на число 23.

12. Знайти остачу від ділення 9⁹⁵+27 на 89.

13. Довести, що остача від ділення 3¹⁹+5⁴⁸ на 23 дорівнює 10.

14. Довести, що остача від ділення 7 • 5⁶+21 на 29 дорівнює 8.

15. Довести, що остача від ділення 8 ∙ 12⁸+3 на 23 дорівнює 21.

16. Довести, що остача від ділення 9 • 15¹¹+2 на 37 дорівнює 25.

      17.   Довести, що остача відділення 17 ∙ 14⁹+5 на 45 дорівнює 33.

Цікаві  задачі для кмітливих

1.    Маємо 10 замків і 10 ключів до них. Скількома випробуваннями можна встановити відповідність між ключами і замками?

Відповідь. 45 способів.

2.    На прямій дано 7 різних точок. Скільки відрізків визначають ці точки на прямій?

Відповідь. 21 відрізок.

3.    Квадрат поділений на 16 рівних квадратних клітинок. Розфарбуйте усі 16 клітинок  у чотири кольори так, щоб на будь-якій горизонталі, на будь-якій вертикалі і двох великих діагоналях не було однакових букв.

4.    Скільки можна скласти ланцюжків, маючи два блакитних кільця і три жовтих кільця, якщо кожний ланцюжок може містити тільки 5 кілець?

Відповідь 10.

5.    На фермі 1000 голів тварин(кролів та кур). У них 3150 лап. Кого більше на фермі чотирилапих чи дволапих тварин на фермі.

Відповідь: 575 кролів та 425 кур.

6.    Третина п’ятої частини деякого числа менша від третьої частини цього числа на 60. Знайти це число.

Відповідь: 225.

7.    Деяке число поділили на 2, до результату додали 1, потім все це поділили на 5, результат помножили на 9 і знову отримали те саме число. Знайти це число.

Відповідь: 18.

8.    Кенгуру купив три сорти шоколадок: великі, середні, і малі. Одна велика шоколадка коштує 4 гривні, одна середня шоколадка коштує 2 гривні, малі шоколадки по одній гривні. З а16 гривні Кенгуру купив 10 шоколадок. Скільки великих шоколадок купив Кенгуру?

Відповідь:  1 велику, 3 середні, 6 маленькі.

9.    На високому банановому дереві сидить мавпочка Чі-Чі рахує банани, але це їй ніяк не вдається. Коли вона починає рахувати трійками, то два банана залишається не порахованими, а коли п’ятірками, то залишається 4 банани зайвими. Яка найбільша кількість бананів була на дереві, якщо мавпочка вміє рахувати тільки до 20?

Відповідь: 59 банани.

10.                      В пляшці, склянці, глечику, та банці знаходяться молоко, лимонад, вода і квас. Що в якій посудині, якщо:

А)вода і молоко не в пляшці;

Б)посудина з лимонадом міститься між глечиком і посудиною з квасом.

В)в банці не лимонад і не вода;

Г)склянка між банкою і посудиною з молоком?

11.                      Аркуш паперу у формі правильного шестикутника. Його вершини за часовою стрілкою перенумерували від 1 до 6. Згодом цей папір  зігнули так, що парні вершини збіглися з центром шестикутника. Яку фігуру отримали?

12.                      У трикутника усі сторони рівні. Трьома прямолінійними розрізами розділити його на три рівні трикутники.

13.                      У трикутника усі сторони рівні. Трьома прямолінійними розрізами розділити його на чотири рівні трикутники.

14.                      У трикутника усі сторони рівні. Трьома прямолінійними розрізами розділити його на три рівні чотирикутники, у яких є пари рівних сторін.

15.                      У трикутника усі сторони рівні. Трьома прямолінійними розрізами розділити його на три рівні чотирикутники, у яких є пара паралельних сторін.

16.                      У прямокутного трикутника середня сторона вдвічі  більша від меншої. Розрізати цей трикутник на  чотири рівних прямокутних трикутники.

17.                      У трикутника усі сторони рівні. Прямолінійними розрізами розділити його на сім гострокутних трикутників.

18.                      Тупокутний різносторонній трикутник розрізати на чотири рівнобедрені трикутники.

19.                      Кожну сторону прямокутника з сторонами 4 см та 8 см поділили пополам і точки сполучили. Кожну сторону утвореного чотирикутника знову поділили пополам і точки з’єднали між собою. Отримали прямокутник зі сторонами 2 см та 4 см. Скільки пар рівних прямокутників є на цьому малюнку? Побудову виконай на папері в клітинку?

20.                      Марко задумав трицифрове  та двоцифрове числа, різниця яких дорівнює 989. Яка сума цих чисел?

21.                      Нехай а – найбільше чотирицифрове число, в якого кожні дві сусідні цифри не рівні між собою, b – найменше таке число. Яка різниця цих чисел?

22.                      У класі 21 учень. Кожна  з дівчат дружить з різною кількістю хлопців цього класу, хоча може і не дружити з жодним. Яка максимальна кількість дівчат може вчитись у цьому класі?

23.                       Пляшка, що може вмістити 1/3 літра, заповнена на ¾ водою. Скільки води залишиться у пляшці після того, як з неї вилили 200 мл?

24.                      Геннадій, Ренат, Михайло, Толя, Федір  читають одну з книг, біблію або енциклопедію. Ренат та Михайло читають однакові книжки, Геннадій читає іншу книжку. Федір та Геннадій  читають різні книги. Хлопці читають три біблії та дві енциклопедії. Яку книгу читає кожний?

25.                      На мотузці зав’язали два вузли. На скільки частин вона розділилася? Розглянути усі можливі випадки.

26.                      Моєму старшому брату у 1998 році було стільки років, скільки дорівнювала сума цифр року його народження. В якому році народився мій брат?

27.                      Один велосипедист долає третину шляху за той самий час, що й другий велосипедист, який долає чверть шляху. Перший велосипедист за цей час долає на 3 км більше, ніж другий. Яка довжина шляху?

28.                       Якщо розділити число на 12, отримаємо різницю семи та цього числа. Яке це число?

29.                      Написали підряд два рази трицифрове число. Чому утворене число обов’язково поділиться на 7, на 11, 13?

Відповідь: 1001∙акс = 7∙11∙13.

30.                      Від двоцифрового числа відняли суму його цифр, одержали число, але записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Яке початкове число?

 Відповідь: 54.

31.                        У двоцифровому числі число десятків у 2 рази менше від числа одиниць. Якщо від цього числа відняти суму його цифр, то дістанемо 18. знайдіть це число.

 Відповідь: 24.

32.                       Двоцифрове число в сумі з числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть всі такі двоцифрові числа.

 Відповідь: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.

33.                       Якщо першу цифру трицифрового числа збільшити на  n, а другу і третю цифри зменшити на n, то одержане число  буде в n  разів більше від шуканого. Знайдіть це число.

34.                       Відповідь: 178.

35.                      Цифри трицифрового числа записали в зворотному порядку і від більшого відняли менше. Доведіть, що різниця цих чисел ділиться на 9.

36.                      Доведіть, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 9.

ЗАДАЧІ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЧИСЕЛ

1. Чи вірно, що:

а) число 5⁵ - 5⁴ + 5³ ділиться на 21;

б) число 957² – 43² ділиться на 1000?

Дослідження.

а)       Перетворимо даний вираз:  

5⁵ - 5⁴ + 5³ = 5³(5² - 5 + 1) = 5³ ∙ 21.
Як бачимо, дане число ділиться на 21.

б)      Перетворимо даний вираз:

957² - 43² = (957 + 43)(957 - 43) = 1000 • 914.

Як бачимо, даний вираз ділиться на 1000.

2. Чи вірно, що при кожному натуральному значенні n:

а) (n + 1)² - (n – 1)² ділиться на 4;

б) (3n + 2)² - (3n - 2)² ділиться на 24;

в) (5n + 3)² - (5n - 3)² ділиться на 60?

Дослідження.

а)       Перетворимо даний вираз:

(n + 1)² - (n - 1)² = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n∙2 = 4n.

Отриманий вираз кратний 4, тобто ділиться на 4.

б)(3n + 2)² - (3n - 2)² = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n∙4 = 24n.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.

в)(5n + 3)² - (5n - 3)² = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 – 5n + 3) = 10n∙6 = 60n.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.

3. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?

Дослідження.

 Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми:

(a + b)² = а² + 2аb + b² = (а² + b²) + 2аb.

Оскільки а і b – числа додатні, величина 2аb – також число додатне, отже, квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів.

4. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?

Дослідження.

Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх суми:

(n + m)² = n² + 2nm + m² = 2nm + (n² + m²).

Величина m² + n² додатна при будь-яких значеннях n і m, таким чи­ном, квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку.

5. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4?

Дослідження.

Нехай дано два непарних числа: 2а + 1 і 2b + 1. Знайдемо різницю квад­ратів цих чисел:

(2а + 1)² - (2b + 1)² - (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 – 2b - 1) =  (2а + 2b+ +2)(2а – 2b) = 2(а + b + 1) ∙2(а - b) = 4(а + b + 1)(а - b).

Отриманий вираз кратний 4, отже, різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.

6. Чи вірно, що  різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:  

 (2а + 3)² - (2а + 1)² = = (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) = (4а + 4) ∙ 2 = 4 ∙2(а + 1) = 8(а + 1).

Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

7. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться?

Дослідження.

Дано два послідовних парних числа: 2а і 2а + 2.

Знайдемо різницю квадратів цих чисел:

(2а + 2)² - (2а)² = (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) = (4а + 2) ∙ 2 = 2(2а + 1) ∙ 2 = 4(2а + 1).

Як бачимо, різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться, оскільки 2а + 1 – число непарне.

8. Чи вірно, що сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних цілих числа а і а + 1.

Знайдемо їх суму:   

а + а + 1 = 2а + 1.

Знайдемо різницю їх квадратів:

(а + 1)² - а² = (а + 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.

Як бачимо, сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.

9. Чи вірно, що непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел?

Дослідження.

Будь-яке непарне число можна представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:

2а + 1 = 2а + 1 + а² - а² = (а² + 2а + 1) - а² = (а + 1)² - а².

Як бачимо, непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.

10. Чи вірно, що квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1?

Дослідження.

Нехай дано непарне число 2а + 1.

Квадрат цього числа дорівнює:

(2а + 1)² = 4а² + 4а + 1 = 4а(а + 1) + 1;

число а(а + 1) – парне при будь-яких значеннях а, тоді число 4а(а +1) – кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного чис­ла при діленні на 8 дає в остачі 1.

11. Чи вірно, якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються однаковими цифрами?

Дослідження.

Якщо квадрати двох натуральних чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.

Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді:

а² - b² = (а + b) (а - b).

Як бачимо, а² - b² ділиться на 10, оскільки а + b ділиться на 10. Отже, квадрати даних чисел закінчуюються однаковими цифрами.

12. Задача державного казначея. 

П’ять чиновників одного з облоно поцупили з  державної казни великі гроші. Головний  спеціаліст привласнив 81 тисячу гривень, а кожний з чотирьох інших взяв неоднаковому суму грошей. Внаслідок нерівного поділу виникла сварка. Тоді начальник облоно наказав, щоб той, хто взяв більше всіх, подвоїв кожному з останніх кількість його вкрадених грошей. І потім наказав те саме тому, хто привласнив другу по кількості грошей, потім третьому,  четвертому, і п’ятому. Внаслідок такого перерозподілу виявилось, що кожний з п’яти чиновників отримав з державної казни однакову кількість грошей, і всі вони сплатили своєму начальнику чверть своєї нової суми. Скільки тисяч гривень поцупили з державної казни? Скільки привласнив кожний спочатку? Скільки отримав грошей начальник облоно?

Розв’язання. Позначимо через  х тис. грн.  кінцеву суму грошей, що отримав кожний чиновник. Проведемо перерозподіл грошей між п’ятьма чиновниками в зворотному напрямі.

№ розподілу	1 чиновник	2 чиновник	3 чиновник	4 чиновник	5 чиновник
Кінцеве положення	х	х	х	х	х
5 розподіл	3х	х:2	х:2	х:2	х:2
4 розподіл	3х:2	11х:4	11х:4	11х:4	11х:4
3 розподіл	3х:4	11х:8	21х:8	х:8	х:8
2 розподіл	3х:8	11х:16	21х:16	41х:16	1х:16
1  розподіл	3х:16	11х:32	21х:32	41х:32	81х:32
Початкова сума грошей.	6 тис. грн.	11 тис. грн.	21 тис. грн.	41 тис. грн.	81 тис. грн.

Розв’язати рівняння: 81х:32 = 81. Звідси х = 32 тис. грн. отримав кожний чиновник після розподілу. Таким чином, всі разом  чиновники поцупили 160 тис. грн. А начальнику облоно кожний чиновник віддав по 8 тис. грн. і він отримав 5∙(32:4) = 40 тис. грн.

13. Задача  про діамантового магната.

Один вельми заможний діамантовий магнат, що мав багато синів, заповів своїм дітям тільки діаманти. Заповіт був складений так, що перший син отримає 1:25 частину всієї спадщини, другий син – 1:25 залишку і ще один діамант, третій син – 1:25 частину нового лишку і ще два діаманти і так далі…  Скільки магнат мав діамантів, якщо всі сини отримали однакову кількість діамантів?

Розв’язання. Якщо х – кількість всіх діамантів магната, тоді х:25 діамантів отримав перший син, (х - х:25):25 + 1 діамантів отримає другий син. Складаємо рівняння:

х:25 - (х - х:25):25 + 1 = 0.

Звідси х = 625 усіх діамантів. Кожний син отримав 25 діамантів.

14. Задача про соціальний банк.

Із державного соціального банку  на Різдвяні  свята були виділені кошти: бідним і ницим – третя частина, тяжко хворим і немічним – п’ята частина, інвалідам війни – шоста частина. Чверть коштів поцупили чиновники у власні соціальні фонди, а шість тисяч пішло на сплату усіх податків до державної казни. Скільки коштів виділив соціальний банк на Різдвяні свята?

Розв’язання.

Якщо х тис. грн.. – усі кошти, які були виділені на різдвяні свята, то маємо рівняння

х – х:3 – х:4 – х:5 – х:6 = 6.

Звідси отримаємо х = 120 тис. грн. виділив соціальний банк на різдвяні свята.

15. Задача про народних депутатів.

П’ята частина депутатів однієї фракції  не відвідувала засідання парламенту раз на тижні, третя частина  депутатів цієї фракції  не відвідувала засідання парламенту раз на два місяці,  а частина депутатів цієї фракції, що по кількості становила різницю попередніх двох чисел, не відвідували засідання парламенту раз на три місяці, і лише один сумлінний депутат цієї фракції відвідував щодня засідання парламенту.   Цікаво, скільки депутатів, у цій фракції?

Розв’язання.

Якщо х – кількість депутатів однієї фракції, то маємо рівняння

х – х:3 – 3(х:3 –х:5) – х:5 = 1.

Звідси отримаємо х = 15 кількість депутатів однієї фракції.

16. Задача про зарплати.

Керівник, двоє замісників і три головних спеціалістів відділів секретаріату Президента разом щомісяця отримують зарплати на суму 42 тис. грн., а три керівники, двоє замісників і один головний спеціаліст отримують разом 58 тис. грн. Скільки грошей отримує кожний державний службовець на своїй посаді в секретаріаті Президента, якщо зарплати керівника, замісника і головних спеціалістів відділів відносяться 5:3:2.

Розв’язання.

58 + 42 = 100 тис. грн. разом отримують керівник, замісник і головний спеціаліст.

5 + 4+ 1 = 10 частин складає 100 тисяч гривень.

100:10∙5 = 50 тис. отримує керівник.

100:10∙3 = 30 тис. отримує замісник

100:10∙2 = 20 тис. отримує головний спеціаліст.

17. На  судовому засіданні.

На судових слуханнях були присутні 20 чоловік. Один суддя розглядав свідчення семи свідків. Другий  суддя розглядав свідчення восьми  свідків, третій суддя опрацював свідчення дев’яти свідків, і так далі до останнього суді, який опитав усіх свідків цієї справи. Скільки свідків було в судовій справі?

Розв’язання.

Приймемо за х – кількість судів, тоді перший суддя розглядав справи 6 +1 свідка, другий суддя опитав розглядав справи 6 + 2 свідка, третій суддя розглядав справи 6+3 свідка, четвертий суддя розглядав справи 6 + 4 свідка, і так далі…   Суддя за номером х  опитав усіх  х+(6+х) = 20. Звідси маємо, що х = 7 судів. Отже, свідків 13.

18. Задача про сім’ю

Сім’я з батька, матері  і дворічного сина взялися разом навести порядок в своїй квартирі. За який час сім’я наведе повний порядок в своїй квартирі, якщо одна мати навела б його за 3 години, один батько – за 4 години, а син, якого лишити напризволяще, зробить повний гармидер за 6 год?

Розв'язання.

Знайдемо спільне кратне для чисел 3, 4, 6, це число 12. Таким чином, за 12 годин одна  мати навела б чотири рази порядок, один батько – 3 рази навів би порядок, а син зробив би повний гармидер тільки 2 рази. Отже, 4 + 3 - 2 = 5 разів уся сім’я навела б повний порядок у квартирі за 12 годин. Ясно, що  за12:5 = 2,4 години = 2 години 24 хвилини у квартирі буде повний порядок.