АРИФМЕТИЧНИЙ СПОСІБ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ  КМІТЛИВИХ

1.    Якщо Оля йде до школи пішки, а повертається автобусом, то затрачає на дорогу 1,5 год. Якщо їде туди і назад, то затрачає 30 хвилин. Скільки часу затратить Оля, якщо йтиме до школи і назад пішки?

2.    Картопля подешевшала на 20%. На скільки відсотків більше можна купити картоплі на ту саму суму?

3.    Я йду до школи 30 хвилин, а мій брат – 40 хв. Через скільки хвилин я наздожену брата, якщо він вийшов на 5 хвилин раніше, ніж я?

4.    Проїхавши половину шляху, пасажир заснув і спав до тих пір, поки не залиши­лося проїхати половину шляху від того, що він проїхав сплячим. Яку частину шляху він проїхав сплячим?

5.    Чи можна 173 числа, кожне з яких 1 або -1, розбити на дві групи так, щоб сума чисел в групах була однакова?

6.    Учень прочитав книгу за три дні. За 1-ий день він прочитав 0,2 всієї книги і ще 16 сторінок, за 2-ий день - 0,3 остачі і ще 20 сторінок, а за 3-ій - 0,75 нової остачі і ще 30 сторінок. Скільки сторінок у книжці?

7.    Зафарбований куб з ребром 10 см розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки є кубиків з однією, двома, трьома зафарбованими гранями?

8.    Чи можна розрізати шахову дошку на прямокутники 1х 3?

9.    За книгу заплатили 50 коп, і залишилось заплатити стільки, скільки залишилось би заплатити, якби за неї заплатили стільки, скільки залишилось заплатити. Скільки коштує книга?

10.          Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового. Знайти початкове двоцифрове число.

11.          Один множник збільшили на 10%, а другий зменшили на 10%. На скільки відсотків змінився при цьому добуток?

12.          Кількість відсутніх учнів становить 1/6 присутніх. Після того, як із класу вийшов один учень, кількість відсутніх стала дорівнювати 1 /5 кількості присутніх. Скільки учнів у цьому класі?

13.          Вчора кількість учнів, які прийшли до школи, була у 8 разів більша від тих, що були відсутні. Сьогодні не прийшло ще 2 учні, і тоді виявилося, що відсутні 20% від кількості присутніх. Скільки учнів у класі?

14.          В одній посудині знаходиться 2а літрів води, а інша порожня. За перший раз із першої посудини в другу переливають половину води. За другий раз переливають 1/3 води з другої посудини в першу, а потім 1/4 води з першої посудини в другу і т.д. Скільки води буде в першій посудині після 1997 переливань?

15.          До трицифрового числа зліва приписали цифру 3, і воно збільшилося в три рази. Яке це число?

16.           Бригада косарів 1-го дня скосила половину луки і ще 2 гектари, а 2-го дня – 25% того, що залишилося і останні 6 гектарів. Знайти площу луки.

АРИФМЕТИЧНИЙ СПОСІБ  РОЗВ’ЯЗУВАННЯ  ЗАДАЧ

1. Довести, що бісектриси трикутника не можуть перетинатися під прямим кутом.

Доведення.

Якщо припустити, що бісектриси перетинаються під прямим кутом, тоді маємо таке протиріччя. Сума половинок двох кутів трикутника рівна прямому куту, тоді сума двох цілих цих кутів рівна двом прямим кутам, тобто 180 градусів. Але у будь-якого трикутника сума усіх трьох кутів рівна 180 градусів.

2. Повна діжечка квасу має вагу 34 кг,  а наповнена на половину має вагу 17,75 кг. Яка вага порожньої діжки?

Розв’язання.

17,75∙2 -34 = 1,5 кг

3. Чи може добуток  тринадцяти натуральних чисел дорівнювати сумі цих чисел?

Розв’язання .

Наприклад, 4∙5∙1∙1….∙1 = 4+5+1+1+….+1.

Кондуктор пасажирського поїзда, швидкість якого 50 км/год, помітив, що зустрічний товарний поїзд, який йде зі швидкістю 40 км/год  пройшов повз нього за 10 сек. Визначити довжину товарного поїзда.

Розв’язання.

40+50 = 90 (км/год)  швидкість зближення поїздів

90 000:3600 = 25 (м/с) швидкість зближення поїздів

25∙10 = 250 (м)  довжина товарного поїзда.

4. Пасажирський поїзд долає відстань між Львовом і Києвом за 10 год, а товарний цю відстань долає за 15 год. Через який час ці поїзди зустрінуться.

Розв’язання.

Вся відстань це одне ціле. Тоді (1/10)+(1/15) =(1/6) – це швидкість зближення двох поїздів. Отже за 6 годин поїзди зустрінуться.

5. Дід і баба разом випивають діжечку квасу за 10 діб, а  один дід таку ж діжечку квасу випиває за 15 діб. За скільки діб вип’є таку  ж діжечку квасу тільки баба?

Розв’язання.

За НСК(10;15) = 30 діб обоє разом вип’ють 3 діжки, а один дід вип’є 2 діжки, отже баба за 30 діб вип’є одну, 3-2=1.

6. Дівчинка наклеює в альбом картинки. Якщо вона на кожну сторінку наклеїть по 4 картинки, то в альбомі не вистачить місця для 20 картинок, коли ж вона на кожну сторінку наклеїть по 6 картинок, то в альбомі залишиться 5 сторінок вільними. Скільки було у дівчинки картинок і скільки сторінок в альбомі?

Розв’язання.

20:4 = 5,  6∙5 = 30,  20+30 = 50,  6-4 = 2,  50:2 = 25 сторінок в альбомі. 4∙25+20=120 картинок.

7. Є 70 монет по 20 коп  і по 15 коп. на однакові суми. Скільки є монет кожної вартості окремо?

Розв’язання.

Цю задачу можна розв'язувати кількома способами.

 1-й спосіб.   Спосіб спроб. Нехай монет кожної вартості буде по 35 коп. Тоді їх сума становитиме (20∙35 = 700) 700 коп. і (15∙35 = 525) 525 коп. Різниця між сумами становитиме (700–525 = 175) 175 коп. Замінивши одну 20-копійкову монету 15-копійковою, мати­мемо 34 монети по 20 коп., на суму 680 коп. і 36 монет по 15 коп. на суму 140) коп., причому різниця між сумами становитиме (680–540= 140) 140 коп. При заміні 20-копійкової монети 15-копійковою ми змен­шимо різницю на (175 – 140 = 35) 35 коп. Оскільки початкова різ­ниця становила 175 коп., то таку заміну слід виконати (175 : 35 = 5) 5 раз, тобто, монет по 20 коп. залишиться 35 – 5 = 30, а по 15 коп. буде 35+ 5= 40.

2-й спосіб. Він грунтується на способі спроб. Виходимо з припущення, що всі 70 монет вартістю по 15 коп. Тоді загальна сума грошей становитиме (15 -70= 1050) 1050 коп. При заміні 15-копій­кової монети 20-копійковою різниця сум монет кожної вартості ста­новитиме (20 + 15 = 35) 35 коп., тому що одна сума зменшилась на 15 коп., а друга збільшилась на 20 коп., що дає 35 коп. Але монет кож­ної вартості має бути на ту саму суму, тому заміну 15-копійкових монет 20-копійковими слід виконати (1050 : 35 = 30) 30 раз. Монет по 20 коп. було 30 шт., а монет по 15 коп. було (70–30 = 40) 40 шт. Для більшої наочності можна запис оформити таблицею.

3-й спосіб.   Виходимо з припущення, що всі 70 монет були вартістю по 20 коп.  кожна. Розв'язування і міркування аналогічні до тільки що наведених.

4-й спосіб. Нехай усі 70 монет були по 20 коп. кожна. Тоді сума їх буде (20-70 = 1400) 1400 коп. Якби всі 70 монет були 15-копійковими, то сума їх становила б (15∙70 = 1050) 1050 коп. Різ­ниця в сумах становитиме (1400–1050 –350) 350 коп. Але замінюючи 20-копійкову монету 15-копійковою, ми змінюємо суму на (20 + + 15 = 35) 35 коп. Тому монет по 15 коп. має бути більше, ніж монет по 20 коп., на (350 : 35 = 10) 10 шт. Задача зводиться в цьому ви­падку до задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею: «Є 70 штук монет вартістю по 15 коп. і 20 коп., причому монет по 20 коп. на 10 шт. менше. Скільки монет кожної вартості окремо?»

5-й спосіб. Спосіб грунтується на застосуванні найменшого спільного кратного двох чисел. НСК (20; 15) = 60. На суму 60 коп. слід узяти (60 : 20 = 3) 3 монети по 20 коп. і (60 : 15 = 4) 4 монети по 15 коп., що становитиме (4+3 = 7) 7 монет. Це треба повторити (70 :7 = 10) 10 раз. Але тоді буде взято монет по 20 коп. (3∙10 = 30) 30 шт. і монет по 15 коп. (4∙10 = 40) 40 шт.

6-й спосіб. Тому що монети кожної вартості повинні мати однакові суми, то їх кількість обернено пропорціональна їх вартості. Якщо монет по 20 коп. було х₁, а монет по 15 коп. було х₂, то х₁ : х₂ =  15 : 20, або х₁: х₂ = 3 : 4. Загальну кількість монет (70 шт.) треба поділити на дві частини пропорціонально числам 3 і 4. Розглядаючи десяткові дроби, цю саму задачу можна розв'язати в гривнях.

Аналогічно до розглянутої можна розв'язати й таку задачу: «На двох шальках терезів стоять 16 гир. На одній шальці всі гири по 5 кг кожна, на другій – по 3 кг. Скільки гир на кожній шальці, якщо терези перебувають у рівновазі?»

Задачу   можна   розв'язати   всіма   способами,   розглянутими   при

розв'язуванні попередньої задачі.

Слід зауважити, що найбільш раціональними способами розв'язу­вання цих задач є 2-й, 3-й і 4-й способи.

НЕСТАНДАРТНІ ЗАДАЧІ

 ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

ПЕРША ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1.  Біля виходу з кінотеатру зустрілися Петрик і Миколка. З їхньої розмови з'ясувалося, що перед рядом, у якому сидів Петрик, було стільки рядів, скільки за рядом, де сидів Ми­колка, а перед рядом, у якому сидів Миколка, - втричі менше. На скільки рядів Миколка сидів ближче до екрана порівняно з Петриком, якщо в залі 29 рядів?    

А. 7.   Б. 14.   В. 15.    Г. 21.

2. Щоранку Івась виходивдо школи на 6 хви­лин пізніше від своєї сестри Олени, але йшов удвічі швидше, ніж вона. Через скільки хвилин він наздоганяв Олену?

А. Визначити не можна.     Б. Через 3 хв. В. Через 5 хв.        Г. Через 6 хв.

3. На талькових терезах потрібно зважити 15 кг борошна, маючи тільки гирю 1 кг. Яка найменша кількість зважувань для цього по­трібна? 

 А. 3.  Б. 4.  В. 5. Г. 6.

4. У четвертому класі навчається 30 дітей. У диктанті Незнайко зробив 14 помилок, більше від усіх. Яка найбільша кількість учнів, що зро­били однакову кількість помилок, обов'язково знайдеться в класі, якшо є й такі, хто не зробив жодної помилки?

А. 2.   Б. 3. В. 4.  Г. 5.

5.  Скільки є різних способів, шоб із трьох різних мотузок зробити 8 мотузочок, якщо розрізати кожну мотузку? Два способи вважаються різними, якшо вони відрізняються кількістю розрізів хоча б однієї мотузки. 

А. 4.   Б. 6.   В. 8.   Г. 10.

7.  Автомат щосекунди замінює зображене на його екрані число добутком його цифр, збільше­ним на 18. На екрані автомата з'явилося число 37. Яке число буде на екрані автомата через 35 с?

А. 45. Б. 39.    В. 38.    Г. 26.

8. В Олени було 5 великих матрьошок. У де­яких із них лежало по 5 маленьких, а в деяких із маленьких лежало по 5 ще менших матрьошок. Усього в Олени 40 матрьошок. Скільки з них не містить усередині менших?
 А. 33.        Б. 34.   В.  35.    Г. Визначити неможливо.

9. Діти збирали ягоди. Дівчаток і хлопчиків було порівну. Кожен зібрав цілу кількість кіло­грамів ягід. Коли вони вишикувалися парами, дівчинка з хлопчиком, то з'ясувалося, що в кож­ного хлопчика кілограмів ягід чи втричі більше, чи втричі менше, ніж у дівчинки з його пари. Яку кількість кілограмів ягід із наведених не могли діти зібрати всі разом?

А. 20. Б. 24.  В. 26.      Г. 28.

10.      Футбольна команда «Вимпел» у чемпіонаті країни з футболу провела 15 матчів, при­чому жоден із них не закінчився внічию. Відо­мо, що з кожних 6 матчів принаймні один за­ кінчився перемогою «Вимпела», а з кожних 11 матчів принаймні один закінчився його поразкою. Скільки всього перемог одержав «Вимпел» у цих 15 матчах?

А. 8.  Б. 9.   В. 10.        Г. 11.

11.  Сума двох натуральних чисел дорівнює 800. Одне з них закінчується цифрою 8. Якщо її закреслити, то матимемо друге число. Чому дорівнює різниця цих чисел?

А. 656.         Б. 574.   В. 665.         Г. 547.

12.  Яка сума очок - 4 чи 9 — має більше шансів з'явитися при киданні двох гральних кубиків?

А. 4.   Б. 9.  В. Шанси однакові. Г. Визначити неможливо.

13.  У класі слухняних дівчат стільки, скільки неслухняних хлопців. Кого в класі більше: слух­няних дітей чи хлопців?

А. Слухняних дітей.    Б. Хлопців. В. Однаково. Г. Визначити неможливо.

14.  У квадраті позначено чотири вершини і, окрім того, по одній точці на середини кожної зі сторін. Скільки можна побудувати  чотирикутників з вершинами у позначених точках?
А. 25.   Б. 36.  В. 48.  Г. 50.

16.  На площині провели чотири прямі. На першій позначили 5 точок, на другій - 6 точок, на третій — 7 точок, на четвертій — 8 точок. Яку найменшу кількість різних точок можна позна­чити? 

   А. 20.        Б. 22.   В. 24.    Г. 26.

17.  У черзі стоять Юрко, Михайлик, Воло­дя, Сашко й Олег. Юрко стоїть перед Михайликом, але після Олега. Володя і Олег не стоять поруч. Сашко не стоїть поруч ні з Олегом, ні з Юрком, ні з Володею. Хто стоїть посередині?

  А. Юрко.  Б. Михайлик.   В. Володя.         Г. Сашко.

ДРУГА ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1. Знайко вирішив удосконалити розміщен­ня фігур на шахівниці. У нього збереглося по 16 фігур з кожного боку: 8 пішаків, 2 тури, 2 сло­ни, 2 коня і 2 правителі (замість ферзя і коро­ля). Він запропонував їх розмістити так, щоб між двома конями стояла одна фігура, між дво­ма слонами - дві, між двома турами - три, між двома правителями - чотири фігури. Реалізуй­те пропозицію Знайка.

2. Двоє школярів грають у таку гру. Вони по черзі записують доданки. Доданками можуть бути довільні натуральні числа від 1 до 8 включ­но. Перемагає той, хто запише такий доданок, щоб сума всіх виписанихдоданків дорівнювала 100. Як має грати перший, щоб забезпечити собі виграш?  

3. У садовому господарстві збирачам мали­ни за кожен зібраний кілограм ягід платять по 5 грн. Якщо збирач здає менше ніж 10 кг, то він одержує тільки гроші за зібрані ягоди. Якщо збирач здає 10 кг і більше, то він ще одержує десяту частину зібраних ягід. Група учнів підря­дилася збирати ягоди, щоб заробити гроші на подорож. Результати їхньої роботи подані в таб­лиці.      

Маса зібраних ягід, кг	7	8	9	10	11	12	13
Кількість учнів	5	4	3	2	3	2	1

а)         Скільки учнів було в групі?

б)        Скільки ягід вони зібрали?

в)         Скільки грошей їм заплатили за всі зібрані ягоди?

г)         Скільки учнів одержали за роботу і гроші,  і ягоди?

д) Скільки ягід одержали безкоштовно учні, які виконали необхідну норму?

4. Є скринька з п'ятьма білими й однією чор­ною кулею. З цієї скриньки навмання вийма­ють по одній кулі (не повертаючи їх назад) доти, поки не з'явиться чорна куля. За кожну гру при­суджується стільки очок, скільки всього вийня­то куль, включаючи й останню чорну. Наприк­лад, якщо чорна куля з'явилася відразу, гравець одержує одне очко, якщо перша куля виявила­ся білою, а друга — чорною, то два очки і т. д.

а)         Яку кількість очок може одержати гравець у цій грі?   

б)        Порівняйте шанси одержання одного, двох, трьох і т. д. очок.

в)         Проведіть велику кількість дослідів, на­ приклад 200, щоразу після появи чорної кулі, повертаючи кулі в скриньку і ретельно пере­мішуючи їх. За результатами дослідів спробуй­те відповісти, яку найбільш імовірну кількість очок можна заробити в такій грі.

5. З пакета, у якому 2200 г борошна, необхідно відсипати 2 кг борошна. Як це зробити за допомо­гою талькових терезів без гир, якщо є ще два па­кети на 600 г  і 1300 г?

6. Кабінки розважального атракціону «Ко­лесо спостереження» послідовно пронумеровані числами 1, 2, 3 і т. д. Скільки всього кабінок, якщо тоді, коли кабінка під номером 30 займає найвищу позицію, кабінка під номером 12 -найнижчу? 

7. Розріжте фігуру тупокутний трикутник, зображену на малюнку, на сім  тупокутних трикутників.