Задачі для розвитку математичного мислення

Задачі для розвитку математичного мислення

Завдання 1. Арифметичні задачі, що вимагають кмітливості та нестандартних прийомів під час розв’язування.

0.За кожну правильно розв’язану задачу Максиму нараховували 5 балів, а за кожну неправильно розв’язану задачу з нього знімали 4 бали. У підсумку Максим набрав 0 балів за написаних 9 олімпіадних задач. Яку кількість завдань неправильно розв’язав Максим?

1.Чотири олівці и три ручки коштують 2 грн 60 копійок, а два олівці і дві ручки 1 грн 40 копійок. Скільки потрібно сплатити за 16 олівців и 14 ручок?

2.  Котра  зараз година, якщо до кінця доби залишилось 4/5 того, що вже пройшло від початку доби?

 3. Доньці  на даний час 8 років, а її матері 38. Через скільки років мама буде  втричі доросліша доньки?

 4. У клітці знаходяться фазани і кролики. Усі тварини мають 35 голов и 94 ноги. Кого більше в клітці  і на скільки?

5.   Деякий  товар спочатку піднявся у ціні на 1250%, а потім знизився у ціні на 800%. Як при цьому змінилась ціна товару?

 6. План випуску виробів 69 штук, а виготовлено – 95. Обчислити відсоток виконання плану.

 7. Свідок  неймовірного убиства дав такі правдиві показання слідчому: Син батька професора убив з пістолета батька сина професора. Хто кого убив  в цій сім’ї, якщо в цій сім’ї  є три сина, і кожний має одну сестру. Скільки дітей в сім’ї?

 8.  План – 60 виробів, а виконали – 175 виробів. Обчислити відсоток перевиконання плану.

 9.  Добуток двох чисел дорівнює 150. Перше число упівтора рази більше другого. Обчислити ці числа, їх півсуму та чверть різниці цих двох чисел.

 10.   Колісний трактор переорає чверть поля за 6 годин, а потужний гусеничний трактор – півтора поля за 18 години. За скільки годин обидві ці трактори зорають три чверті поля разом?

11.   Добуток двох рівних чисел дорівнює натуральному числу К. Якщо один множник збільшити на 20, а другий зменшити на 20, то як зміниться добуток?

 12.   Чверть костюма коштувала К гривень. Спочатку його ціну зменшили на 20%, а згодом підвищили на 25%. Як змінилась ціна костюма? Яка зараз ціна половини костюма?

Завдання 2. Арифметичні задачі, що вимагають кмітливості та нестандартних прийомів під час розв’язування.

13.   Одна повністю відкрита труба наповнює мінеральною водою півчверті басейну за 3 години, а друга повністю відкрита труба наповнює  джерельною півтретини басейну за 4 години. За який час ці дві труби разом заповнять півтора бассейна, якщо із негерметичного прикритої труби-витоку з наповного басейні уся вода витікає за 24 години?  

 14.   У ліцеї 1080 учнів, деякі із них вчають такі іноземні мови: англійську, німецьку польську. Усі три іноземні мови у цьому класі вивчають тільки 100 учнів.  Польську та англійську мову вивчають лише 150 учнів,  польську та німецьку мову вивчають лише 140 учнів, німецьку та англійську мову вивчають лише 130 учнів. Обчислити відсоток учнів які вивчають тільку одну іноземну мову в цьому ліцеї. 

15.   Кількість мешканців району на початок року К. Приріст населения за рік склав 0,5%. Скільки мешканців району буде  на кінець року? Скільки мешканців району буде  на кінець 7 року?

16.   10 кур за 10 днів з’їдають 10 кг зерна. Скільки зерна з’їдять 100 кур за 100 днів?

17.   Комбайном зібрали урожаю пшениці в перший день з 5/12 поля, а на другий день залишилось зібрати – 21 га цього поля. Яка площа  всього поля? Чи вірно, що другого дня урожаю (в тонах) зібрали більше, ніж першого дня, якщо на 1 га зібрали 70  центр пшениці вищого сорту.

18.   Із двох пунктів одночасно в одному напрямку вийшли два пішоходи. Перший пішохід йде зі швидкістю 6 км/ч, а другий – 4 км/ч. Через скільки годин перший пішохід наздожене другого, якщо відстань між  пунктами 12 км?

 19.   Від ділення числа А на число В отримали найменше  двоцифрове число і остачу 1. Записати число А, як буквений вираз з числом-змінною В. Чи вірно, що число А – може бути будь-яким парним цілим числом, якщо змінна В – це деяке дробове число?

 20. Від ділення числа 1/А на 1/В отримали найбільше  двоцифрове число і остачу 1. Записати число А, як  буквений вираз з числом  В. Чи вірно, що число А – може бути будь-яким непарним цілим числом, якщо змінна-число В – це деяке дробове число?

21. Від ділення різниці А-В на суму чисел А+В отримали найбільше  трицифрове число і остачу 1. Знайти число А, як буквений вираз із змінним числом В.

22. Сума чисел 1/А та 1/В дорівнює найменшому  простому числу. Виразити число А через число  В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнообернені числа.

23. Від ділення числа А на В/А отримали 729. Виразити число В через число  А. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнообернені числа.

24. Від ділення числа (А-В) / (В+А) на число (А+В) / (А-В)  отримали 1. Довести, що А і В – два невзаємнообернені числа.

25. Від ділення числа А/В на число А+В отримали 1. Виразити число А через число  В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнопротилежні числа.

Завдання 3.  Арифметичні задачі, що вимагають кмітливості та нестандартних прийомів під час розв’язування.

26. Від ділення числа А-В на число А/В отримали 1. Виразити число А через число  В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнопротилежні числа.

27. Від ділення числа 1/А-1/В на число 1/А+1/В отримали 15/17. Виразити число А через число  В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнообернені  числа.

28.   Добуток двох чисел дорівнює 72, при цьому перше число в два раза більше другого. Знайти модуль різниці між сумою та добутком цих чисел.

29.   Я задумав число і збільшив його втричі. До добутку додав  12 і отримав 60. Знайти задумане число.

30.   Через першу трубу басейн наповнюється за  20 годин, через другу трубу – за 30 годин. За скільки годин басейн наповниться через обидві  труби?

 31.   Деяку відстань автомобіль подолав вгору зі швидкістю 42 км/г, а з гори зі швидкістю 56 км/ч. Яка середня швидкість руху автомобіля на всьому шляху?

 32.   Пароход від Києва до Херсона пливе 3 суток, а від Херсона до Києва – 4 суток (без зупинок). Скільки часу плистиме плот від Києва до Херсона?

 33.   Змішали 3 кг молока жирністю 6% і 2 кг молока жирністю 3,5%. Знайти жирність молока в нової суміші.

 34.   Купили 40 птахів за 40 монет. За кожні три горобці сплатили 1 монету, за кожні дві горлиці сплатили одну монету, за кожного голуба – 2 монети. Скільки було куплено птахів кожної породи?

 35.   Дві бабусі вийшли одночасно назустріч один одному з двох міст. Вони зустрілись в полдень і досягли чужого міста – перша в 4 години пополудні, а друга в 9 години. Дізнатися, коли вони вийшли із своїх міст, якщо швидкість  першої бабусі в два рази більша, ніж швидкість другої.

36.   Рядовий Сидір почистив бак картоплі за 4 години, і у нього 20% усієї картоплі пішло в смітник. За скільки годин він начистив такий же (по вазі) бак картоплі?

37.   Деяка справа  приносе стабільний прибуток. Перший компаньйон вклав в нього 13 млн. грн., другий – 10 млн.грн., а третій – 13 млн. грн. Першийй забрав вкладені гроші через місяць, другий – через 2, а третій – через 3 месяца. Тільки післе цього вони разділили отриманий прибуток. На скільки відсотків збільшилась сума щомісячно, якщо сумарний прибуток першого и другого виявився рівним прибутку третього?

38. Які остачі при діленні на 6 може мати просте число, більше, ніж 5?

Завдання 4. Арифметичні задачі, що вимагають кмітливості та нестандартних прийомів під час розв’язування.

39. Розкласти число 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

40. Розкласти число 800 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге — на 23.

41.Розкласти число 170 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

42. Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Скільки треба 43. взяти дощок того й другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

44. На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. Як найекономніше використати ці труби?

45. Автобаза може послати 30 машин для вивозу цукрових буряків на три приймальні пункти. На базі є дво-, три- і п'ятитонні машини. Скільки треба машин кожної тонажності, щоб за кожну ходку вивозити 100 тонн буряків? Знайти оптимальний розв'язок.

46. 26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік витратив 6, жінка — 4, а дівчина — 2 монети. Скільки було чоловіків, жінок і дівчат?

47. Пофарбований куб з ребром 10 см розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки утвориться кубиків: а) з однією пофарбованою гранню; б) з двома; в) з трьома; г) без пофарбованих граней?

48. Як даний прямокутний трикутник розрізати на гострокутні трикутники?

49. Як будь-який трикутник розрізати на гострокутні трикутники?

50. Розрізати прямокутник розміром 18х8 на дві частини так, щоб з них можна було скласти квадрат.

51. У сумі а₁ + а₂ + а₃ + а₄  доданок: а₁, ділиться на 3, а₂ ділиться на 3, а₃ ділиться на 3, а а₄ не ділиться на 3. Чи ділиться а₁ + а₂ + а₃ + а₄  на  3?

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ  КМІТЛИВИХ УЧНІВ

1.     Якщо Оля йде до школи пішки, а повертається автобусом, то витрачає на дорогу 1,5 год. Якщо їде туди і назад, то витрачає 30 хвилин. Скільки часу затратить Оля, якщо йтиме до школи і назад пішки?

2.     Картопля подешевшала на 20%. На скільки відсотків більше можна купити картоплі на ту саму суму?

3.     Я йду до школи 30 хвилин, а мій брат - 40 хв. Через скільки хвилин я наздожену брата, якщо він вийшов на 5 хвилин раніше, ніж я?

4.     Проїхавши половину шляху, пасажир заснув і спав до тих пір, поки не залиши­лося проїхати половину шляху від того, що він проїхав сплячим. Яку частину шляху він проїхав сплячим?

5.     Чи можна 173 числа, кожне з яких 1 або -1, розбити на дві групи так, щоб сума чисел в групах була однакова?

6.     Учень прочитав книгу за три дні. За 1-ий день він прочитав 0,2 всієї книги і ще 16 сторінок, за 2-ий день - 0,3 остачі і ще 20 сторінок, а за 3-ій - 0,75 нової остачі і ще 30 сторінок. Скільки сторінок у книжці?

7.     Зафарбований куб з ребром 10 см розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки є кубиків з однією, двома, трьома зафарбованими гранями?

8.     Чи можна розрізати шахову дошку на прямокутники 1х 3?

9.     За книгу заплатили 50 коп, і залишилось заплатити стільки, скільки залишилось би заплатити, якби за неї заплатили стільки, скільки залишилось заплатити. Скільки коштує книга?

10.           Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового. Знайти початкове двоцифрове число.

11.           Один множник збільшили на 10%, а другий зменшили на 10%. На скільки відсотків змінився при цьому добуток?

12.           Кількість відсутніх учнів становить 1/6 присутніх. Після того, як із класу вийшов один учень, кількість відсутніх стала дорівнювати 1 /5 кількості присутніх. Скільки учнів у цьому класі?

13.           Вчора кількість учнів, які прийшли до школи, була у 8 разів більша від тих, що були відсутні. Сьогодні не прийшло ще 2 учні, і тоді виявилося, що відсутні 20% від кількості присутніх. Скільки учнів у класі?

14.           В одній посудині знаходиться 2а літрів води, а інша порожня. За перший раз із першої посудини в другу переливають половину води. За другий раз переливають 1/3 води з другої посудини в першу, а потім 1/4 води з першої посудини в другу і т.д. Скільки води буде в першій посудині після 1997 переливань?

15.           До трицифрового числа зліва приписали цифру 3, і воно збільшилося в три рази. Яке це число?

16.            Бригада косарів 1-го дня скосила половину луки і ще 2 гектари, а 2-го дня – 25% того, що залишилося і останні 6 гектарів. Знайти площу луки.

Геометричні побудови 6 кл.

                           

1.Чи можна посадити 11 дерев у чотири ряди по чотири дерева у кожному ряду?

Вказівка: спробуйте накреслити чотири непаралельні прямі, розташуйте на цих прямих 11 точок так як потребує умова задачі.

2.Чи можна розташувати на площині а) 8 відрізків, б) 6 відрізків, в) 7 відрізків так, щоб кожний відрізок  перетинався рівно з трьома другими?

Вказівка: а)розташуйте 2 ромба , один з яких перетинає інший в чотирьох точках, а тепер сторони цих ромбів продовжіть в обидві сторони, б)користуючись поняттям парності , спробуйте довести, що це неможливо.

3. Чи можна побудувати на площині замкнену ломану лінію, що само перетинаються і перетинає кожну ланку ломаної рівно один раз?

Вказівка: спробуйте побудувати шестикутник з різними сторонами, а протилежні сторони продовжить так в одному напрямі, щоб вони утворили точки перетину, так утвориться 6-ланкова ломана , яка задовольняє умовні задачі.

Помітка: для ломаної з непарною кількістю ланок це зробити не можна, спробуйте обґрунтувати цю неможливість, від супротивного.

4. На скільки  частин можна поділити площину: а) 4 різними прямими, б) 5 різними прямими?

Вказівка: а) поділ на 6, 7 частин неможливий, але кажіть можливі випадки поділу на 5, 8, 9, 10, 11 частин.

5. Яка можлива кількість точок перетину у семи прямих? Перерахуйте всі можливі випадки.

Вказівка: точок перетину може не бути, бути тільки одна, або будь-яка кількість від шести точок до 21 точки перетину.

6. Ребро куба рівно 2дм. Цей куб розрізали на маленькі кубики з ребром в 1см. Якої довжини отримається стовпчик, якщо усі кубики викласти один на одний?

Вказівка: 20×20×20 = 8000×8000×8000 см, отже…8000 кубиків, а далі порахуйте в метрах висоту стовпчика.

                         Завдання для самостійного опрацювання:      

1.                      Як від стрічки довжиною дві третіх метри відрізати половину метра, не користуючись ніякими вимірювальними засобами?

2.                      Поділіть метр на такі дві частини, щоб різниця між ними складала 7 дм  5см.

3.                      «Що більше: один метр кубічний чи один метр квадратний?» - запитує Заєць Вовка. «Звичайно, метр кубічний !» - не задумуючись відповів той. А ви як думаєте?

4.                      Є 21 точка, яка найменша кількість прямих може проходити через ці точки?

5.                      Маємо 10 замків і 10 ключів до них. Скількома випробуваннями можна встановити відповідність між ключами і замками ?

6.                      На прямій дано 5 різних точок. Скільки відрізків визначають ці точки на прямій?

7.                      На площині є 8 точок, але ніякі три з них не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки таких прямих можна провести?

8.                      На фермі 1000 кролів і курок, у них 3150 ніг. Скільки кролів і курок на фермі?

9.                      Скільки можна скласти ланцюжків, маючи два блакитних кільця, якщо кожний ланцюжок може містити тільки 5 кілець?

10.                 Квадрат розкреслений на 16 рівних клітинок. Кожну із букв А, В, С, Д поставити у ці клітинки 4 рази таким чином, щоб на будь-якій горизонталі, будь-якій вертикалі і двох великих діагоналях не було однакових букв.

11.                 Частина клітинок клітчатого паперу пофарбовано у жовтий колір, останні клітинки пофарбовані у блакитний колір (не обов’язково у шаховому порядку). По жовтим клітинкам стрибає коник, а по блакитним стрибає блоха, при цьому кожний стрибок робиться на будь-яку відстань по вертикалі або по горизонталі. Довести, що коник і блоха зможуть виявитися рядом, зробивши у загальному випадку не більше трьох стрибків.

12.У кімнаті розташовано 6 лампочок, причому до кожної з них  відведено свій вимикач. Скільки існує можливостей освітлювати  кімнату, якщо для цього повинно бути увімкнена хоча б одна лампочка?

13. Скільки існує п’ятицифрових чисел у яких парні і непарні цифри чергуються?

14. 1997 чоловік вишикувані у шеренгу. Чи завжди можна поставити їх по росту,  якщо дозволяється переставляти будь яких двох чоловіків що стоять тільки через одного?

15.У кожну клітинку квадрата розміром 6х6 клітинок записали одне з чисел -1, 0, 1 .Чи можуть суми чисел  , які записані  в кожному рядку , у кожному  стовпчику і по двох великих діагоналях , бути різними?