Розвиток логічного мислення за допомогою розв'язування задач

Зарядка для мозку:

1.Якомога швидше порахуйте у зворотньому порядку від 100 до 1.

2. Прокажіть алфавіт, придумуючи на кожну літеру слово, причому якнайшвидше. Якщо ви задумались над якоюсь літерою більш як на 30 секунд, то пропустіть її і думайте над наступною.

3. Вимовіть 20 чоловічих імен, нумеруючи кожне з них.

4. Вимовіть 20 жіночих  імен, нумеруючи кожне з них.

5. Вимовіть 20 назв їжі, нумеруючи кожне з них.

6. Вимовіть 20 слів, нумеруючи кожне з них, що починаються з вашою улюбленої літери.

7. ваші очі могли бути заплющеними під час цих вправ. Тепер заплющіть Їх. Порахуйте до 20 і назад. І розплющіть очі.

ЗАКОНОМІРНОСТІ

Задача 1

Продовжи ряд:

2, 4, 6, 10, 16, 26,...;

1, 5, 3, 4, 9, 12, 16, 25, 37,...;

2, 5, 8, 11, 14,...;

1, 3, 4, 8, 15, 27,...;

6, 9, 5, 2, 6, 9....

Задача 2

Знайди зайве число:

23, 57, 44, 53.79, 87, 21;

54, 74, 83.94, 1114, 4344;

234, 546, 872, 9987, 908, 670;

354, 2622, 471, 3513, 813, 3333, 678, 912.

Все ваш мозок «розігрівся» і ви готові до роботи.

Осмислення способів розв’язування логічних задач.

Колективна робота з учнями.

ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ

Задача 1

На день народження до Мауглі прийшли Багіра, Каа й Балу і подарували йому коко­совий горіх, морську перлину і тільки-но забитого оленя. Відомо, що Багіра не любить плавати, Каа ніколи не полював на оленів, а нещодавно Бандер-Логи закидали Балу кокосовими горіхами. Що подарувала Мауглі Багіра?

Задача 2

В  одному  класі  вчаться  три  товариші: середняк, хорошист і відмінник.  їх прізвища Петренко, Васильчук і Корабльов. У середняка немає ні братів, ні сестер, він найстарший з друзів. Васильчук молодший за хорошиста і займається плаванням разом з братом Корабльова. Назвіть прізвище хоро­шиста.

Задача 3

На переговори за круглий стіл сіли королі чотирьох королівств: Блондії, Даркнеса, Бродмура і Ретгроу. Звуть королів Хрум, Трум, Угрюм і Зазнайка. Король Ретгроу (не Хрум і не Трум) сидить між королем Дар­кнеса і Зазнайкою. Король Блондії сидить між королем Бродмура і Трумом. Який король править Блондією?

Задача 4

У черзі до гойдалки стоять Оленка, Тетяна, Іра, Світлана й Марійка. Відомо, що Оленка покатається на гой­далці раніше від Тетяни, але пізніше від Марійки; Іра й Марійка не стоять поруч, а Світлана не стоїть поруч ні з Марійкою, ні з Оленкою, ні з Ірою. Хто за ким стоїть?

Задача 5

На космодромі стоять 4 космічних кораблі: червоний, жовтий, синій і зелений. Вони готові стартувати на далекі планети — Транай, Фаетон, Гарпію і Стелу. Червоний зореліт не летить ні на Транай, ані на Стелу. На Фае­тоні терпіти не можуть синій колір, проте транспорт Гарпії фарбують або в синій, або в зелений колір. Командир зеленого корабля ніколи не чув про планету Гарпія, а коман­дир жовтого не був на Транаї. Який кора­бель летить на Транай?

Задача 6

Подруги — Жовтикова, Бєлова і Чер­ненко вийшли гуляти в жовтій, білій і чор­ній сукнях. «Дивіться,— промовила дівчина в білій сукні,— в жодної з нас колір сукні не співпадає з прізвищем». «Так, ти маєш рацію»,— підтвердила Черненко. Хто в якій сукні вийшов гуляти?

Задача 7

Люсі, Наталі, Ліза й Анжеліка зібралися на прогулянку зі своїми кавалерами.

Кавалери подарували їм букет конвалій, букет червоних тюльпанів, розкішні баг­ряні троянди й білі піони. Кожна дівчина отримала букет своїх улюблених квітів. По дорозі дівчата заговорили про квіти:

Які гарні в тебе троянди! — сказала подрузі Наталі.

А я не люблю червоних квітів, — ска­зала Анжеліка.

А в мене від пахощів конвалій завждиболить голова,— відгукнулася Ліза.

Які   квіти   любить   Наталі,   якщо   Люсі завжди любила піони?

Задача 8

Білочка заготувала на зиму горіхи, гриби, ягоди й шишки, поклала їх у різні скриньки: червону, синю, білу й жовту, — і поставила на полицю в ряд. Скринька з грибами не крайня. Скринька з шишками знаходиться між скринькою з ягодами та жовтою скринь­кою. Щоб зварити компот, треба залізти не в синю скриньку, а в сусідню з нею. Ягоди знаходяться не в білій скриньці. В якій скриньці лежать горіхи?

Задача 9

У перегонах брали участь три гонщики: Іваненко, Петренко, Сидоренко. Вони висту­пали на червоній, жовтій і білій маши­нах. Гонщик на червоній машині прийшов до фінішу раніше Сидоренка. Гонщик на жовтій машині прийшов не першим. Біла машина перегнала Петренка, хоча Петренко був не останнім. Хто на якій машині висту­пав?

Задача 10

У змаганнях з бігу на 100 метрів брали участь четверо друзів: Котиков, Мас лов, Зай-цев і Чижов. Один із них брюнет, другий — блон­дин, третій — шатен і четвертий — рудий. Котикову вдалося перегнати рудого, однак Маслов прибіг попереду Котикова. Зайцев прибіг раніше за Чижова, але пізніше за шатена. Маслов не шатен. Хто яке місце посів?

Задача 11

Віслюк, цап, мавпа й клишоногий ведме­дик зібралися зіграти квартет. Для цього вони дістали барабан, трубу, скрипку й сак­софон. Віслюк і цап заявили, що своїми ратицями вони не можуть перебирати лади або натискати на кнопочки. Ведмідь сказав, що гра на скрипці — не для його незграбних лап. Віслюкові більше подобаються духові інструменти. Хто на якому інструменті зіграв?

Задача 12

У Гриші живуть три хом'ячки: Хомка, Фомка й Стьопка. Один із них білий, дру­гий рудий і третій чорний. Чорний хом'ячок живе в окремій клітці. Хомка живе в одній клітці з хом'ячком, що любить сир. Фомка, як і білий хом'ячок, сира не їсть, проте любить капусту. Якого кольору Стьопка?

Задача 13

Дід Мороз у подарунок Андрію, Оленці й Світлані приніс ляльку, м'яч і лото. Світлана не любить грати в ляльки, а Андрію не подо­бається лото. Хто який подарунок отримав, якщо Дід Мороз ніколи не дарує ляльок хлопчикам?

Цікаві завдання

Задача 1. Уявіть собі, що на мові острова слова "так" і "ні" звучать як "тип" і "топ", але невідомо, яке слово що означає. Як, задавши аборигену одне питання, з'ясувати у нього, брехун він чи лицар?

Задача 2. Яке питання треба задати аборигену, щоб він обов'язково відповів "тип"?

Задача 3. Островитянин А в присутності іншого островитянина В каже: "Принаймні один із нас — брехун". Хто такий А і хто такий В?

Задача 4. Три чоловіки: А, В і С, про яких відомо, що один із них лицар, другий -— брехун, а третій    –  приїжджий, нормальний чоловік, який може казати і правду, і брехати. А каже: "Я нормальна людина". В каже: "А і С інколи кажуть правду", С каже: "В — нормальна людина"

Хто з них брехун, хто — лицар, а хто      нормальна людина?

 Задача 5.  Зустрілися декілька аборигенів, і кожний із них заявив всім іншим:   "Ви всі — брехуни".   Скільки лицарів могло бути серед цих аборигенів?

Завдання для вироблення умінь та навичок досліджувати та аналізувати.

1. Андрій, Віктор, Степан хотіли поїхати у відпустку разом і подали про це заяву. Через деякий час секретарка сказала, що відпустку їм надали в різні місяці – в червні, липні та серпні. І повідомила, що Степану випала відпустка не в серпні, Віктору – не в липні, а от Андрію, здається в липні. Коли чоловіки дізналися у відділі кадрів про час своєї відпустки, виявилось, що секретарка повідомила тільки одному з них вірно час відпустки. На які ж місяці кожному з них випала відпустка? (Степан – у червні, Віктор – у липні, Андрій – у серпні).
2. У трьох сім’ях чоловіки на 3 роки старші від своїх дружин. Відомо, що Іван на три роки молодший від Надії, Федору і Марії разом  56 років, А Степану і Олені – 50 років. Хто з ким одружений?(Такі пари: Іван та Олена, Степан та Марія, Федір та Надія).
3. На автомобілі нові шини. Шина на задньому колесі витримує пробіг в 16 тис. км. На передньому колесі – 24 тис. км. Який максимальний пробіг можна здійснити на цих шинах? (19 200 км)
4. Петро і Сидір влучили по мішені, зробивши по 5 пострілів, в такі круги: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Першими трьома пострілами вони вибили однакову кількість очок, але трьома останніми пострілами Петро вибив у 3 рази більше очок, ніж Сидір. Куди влучив кожен з них третім пострілом?(Петро – 10, Сидір – 2).
5. Є 27 рівних кубів одного кольору. 26 з них мають однакову вагу. Як за допомогою найменшої можливої кількості зважувань на терезах без гир відокремити куб, вага якого відрізняється від ваги інших? Дізнайтеся, важчий, чи легший він від інших кубів.( За чотири зважування).

Завдання для самостійного розв’язування  

Задача 1. Сьогодні Петрикова мама, сказала: "Всі чемпіони добре навчаються." Петрик каже: "Я добре вчуся. Значить, я чемпіон." Чи правильно він міркує?

Задача 2. На столі лежать 4 картки, на яких зверху написано: А, Б, 4, 5. Яку найменшу кількість карток і які саме слід перевернути, щоб перевірити, чи вірне твердження: "Якщо на одній стороні картки написано парне число, то на іншій стороні картки — голосна літера"?

Види умовиводів

Логічно необхідні та ймовірні умовиводи.

Дедуктивні, індуктивні за аналогією.

Дедуктивні умовиводи: необхідність виводу та висновку в дедуктивному умовиводі.

Типи дедуктивних умовиводів.

Умовиводом називається форма мислення, за допомогою якої з одного або кількох суджень виводиться нове судження, котре містить в собі нове знання.

Термін “умовивід” вживається в подвійному значенні. Під “умовиводом” розуміють і розумовий процес виведення нового знання із суджень, і саме нове судження, як наслідок розумової операції.

Умовивід за своєю структурою складніший, ніж поняття і та судження, форма мислення. Поняття і судження входять до складу умовиводу, як його елементи.

Будь-який умовивід складається із засновків та висновку.

Засновки – це судження, із яких виводиться нове знання.

Висновок – судження, виведене із засновків.

Умовивід – це логічний засіб здобування нового знання. У процесі умовиводу здійснюється перехід від відомого до невідомого. Об’єктивною підставою умовиводу є зв’язок і взаємозалежність предметів і явищ дійсності. Якби навколишній світ складався з нагромаджених не пов’язаних між собою випадкових предметів і явищ, то від знання одних предметів не можна було б перейти до знання інших і, отже, умовивід як форма мислення був би неможливим. Але оскільки предмети і явища об’єктивної дійсності взаємопов’язані, підпорядковані певним законом, то існує не тільки можливість, а й необхідність пізнання одних предметів на підставі знання інших.

Умовиводом є не будь-яке сполучення, а тільки таке, у якому між судженнями існує логічний зв’язок, котрий відображає взаємозв’язок предметів і явищ самої дійсності. Якщо ж предмети дійсності не пов’язані між собою, то й судження, що відображають ці предмети, логічно будуть не пов’язаними і тому вивести із них якесь нове значення, тобто побудувати умовивід, не можна.

У будь-якому умовиводі слід розрізняти три види знань:

Вихідне знання, те, з якого виводять нове знання – воно міститься в засновках умовиводу.

Висновкове знання – міститься у висновку.

Обгрунтовуюче знання – знання, котре пояснює правомірність висновку із засновків. Обгрунтовуюче знання міститься в аксіомах і правилах умовиводів, воно не входить до складу умовиводу у вигляді окремого судження, а складає логічну підставу висновків, дає відповідь на запитання про те, чому висновок, здобутий з тих чи інших суджень, є правомірним і необхідним.

Дедуктивним (від латинського слова deductio – виведення) називається умовивід, у якому висновок про окремий предмет класу робиться на підставі класу в цілому.

У дедуктивному умовиводі думка рахується від загального до окремого, одиничного, тому дедукцію звичайно визначають як умовивід від загального до часткового.

Щоб дійти дедуктивного висновку, необхідно мати подвійне знання, засновки:

засновок, що має загальне положення або правило, під яке підводиться частковий випадок; 2) засновок, у якому ідеться про той окремий предмет або частковий випадок, який підводиться під загальне положення.

Загальні положення звичайно є готовими, заздалегідь відомими. До них відносяться закони науки, аксіоми, наукові положення принципи й інші судження, в яких міститься знання загального. У юридичній практиці як знання загального виступають норми права (статті кодексів та інших законодавчих актів), положення правових наук, керівні вказівки органів суду, прокуратури та ін.

Дедукція дає висновки достовірні. У цьому одна з її переваг над іншими видами умовиводів. Якщо засновки дедуктивного умовиводу істинні і правильно пов’язані, то висновок буде неодмінно істинним.

Проте, якщо один із засновків дедуктивного умовиводу буде не достовірним, а вірогідним, то й висновок у такому випадку буде вірогідним і не може бути достовірним. Дедуктивні умовиводи з вірогідними засновками широко використовуються у судовій практиці під час побудови судових версій, висловлюванні різноманітних пропозицій.

Висновок дедуктивного умовиводу має примусовий характер. Це означає, що коли якесь загальне положення визнане істинним і якщо відомо, що частковий випадок підлягає під це загальне положення, то не можна не визнавати наявність загального у цьому частковому випадку.

Розрізняють такі типи дедуктивних умовиводів: категоричний силогізм, умовні силогізми і розподільні силогізми. Термін “силогізм” походить від грецького слова sullogismos – здобуття висновку чи виведення наслідку.

Категоричним силогізмом називається такий дедуктивний умовивід, у якому обидва засновки є категоричними судженнями.

Розподільно-категоричним силогізмом називається такий умовивід, у котрому більший засновок є судженням розподільним, а менший – категоричним.

Умовно-розподільним силогізмом або лемантичним силогізмом називається силогізм, у котрому більший засновок є судженням умовним, а менший розподільним .

Індукцією називається умовивід, у якому на основі знання частини предметів класу робиться висновок про всі предмети класу, про клас в цілому. Індукція – це умовивід від часткового до загального. Термін “індукція” походить від латинського слова inductio, що означає “наведення”.

Повною індукцією називається умовивід, у якому загальний висновок про клас предметів робиться на основі вивчення всіх предметів цього класу.

Неповною індукцією називається умовивід, у якому загальний висновок виводиться із засновків, котрі не охоплюють усіх предметів класу.

Індукція через простий перелік – це такий умовивід, у якому загальний висновок про клас предметів робиться на тій підставі, щоб серед спостережуваних фактів не траплялося жодного, який би суперечив узагальненню.

Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок досліджувати та аналізувати і використовувати метод математичної індукції.

1. Доведіть, що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп.
2. На площині дано  декілька кіл. Доведіть, що ділянки, на які вони розбивають площину, можна  правильно зафарбувати в білий та чорний кольори
3. Доведіть, що сума внутрішніх кутів будь-якого випуклого многокутника рівна 180(n-2), де n – кількість кутів.
4. Доведіть, що кількість діагоналей будь-якого випуклого многокутника рівна   n·(n-3):2, де n – кількість кутів.
5. Доведіть, що (6²ⁿ – 1) кратне 35, де n - натуральне число.