Як записувати розв'язування олімпіадних задач?

1. Є скринька з п'ятьма білими й однією чорною кулею. Навмання з цієї скриньки виймаються по одній кулі (не повертаючи їх назад) доти, поки не з'явиться чорна куля. За кожну гру присуджується стільки очок, скі­льки всього вийнято куль, рахуючи й останню чорну. Наприклад, якщо чорна куля з'явилася відразу, гравець одержує одне очко, якщо перша куля виявилася білою, а друга — чорною, то два очки і т. д.

а)      Яку кількість очок може одержати гравець у цій грі?

б)      Порівняйте шанси одержання одного, двох, трьох і т.д. очок.

в)      Проведіть велику кількість дослідів, наприклад 200, щораз, після по­яви чорної кулі, повертаючи кулі в скриньку і ретельно перемішуючи її вміст. За результатами дослідів спробуйте відповісти, яку найбільш
імовірну кількість очок можна заробити в цій грі.

□       а) Гравець може одержати в цій грі 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок.

б) Є один шанс із 6 одержати одне очко; є 5 шансів із 6 витягти першою білу кулю й один шанс — чорну. Підрахуємо шанси першою витягти білу кулю, а другою — чорну. Якщо позначити білі кулі через 1, 2, 3,4, 5, а чор­ну —^через а, то будемо мати наступні 30 варіантів витягування двох куль (без повернення):

12, 13, 14, 15, 1а, 21, 23, 24, 25, 2а, 31, 32, 34, 35, За, 41, 42, 43, 45, 4а, 51, 52, 53, 54, 5а, аі, а2, аЗ, а4, а5. Тільки при п'яти варіантах першою виявиться біла куля, а другою — чорна: 1 а, 2а, За, 4а, 5а. Отже, є 5 шансів з 30 чи один шанс із шести витягти пер­шим біла куля, а другим — чорний. Шанси збіглися. Продовжуючи далі, одержимо, що шанси одержати 1,2, 3, 4, 5, 6 очок однакові.

□ Кількість перемог не може бути меншою від 10, тому що тоді в 6 зустрі­чах команда потерпіла поразку, що неможливо. Неможлива і кількість пе­ремог, більша від 10, тому що тоді в 11 зустрічах команда уникла поразок, Залишається єдина можливість: кількість перемог— 10. Ц

Відповідь: В. 10.

2. Сума двох натуральних чисел дорівнює 800. Одне з них закінчується циф­рою 8. Якщо її закреслити, то матимемо друге число. Різниця цих чисел дорівнює...

А. 656.      Б. 574.       В. 665.      Г. 547.

*Принаймні одне з даних чисел трицифрове. Саме воно може закінчува­тися цифрою 8. Якщо її закреслити, то вийде двоцифрове число. Тому дане трицифрове число містить 7 сотень і 8 одиниць. Залишається знайти кіль­кість десятків. Підбором знаходимо, що їх 2, тобто число дорівнює 728: 728 + 72 = 800. Далі, 728 - 72 = 656. ■

Відповідь: А. 656.

3. Яка сума очок — 4 чи 9 — має більше шансів з'явитися при підкиданні двох гральних кубиків?

А. 4. Б. 9.

В. Шанси однакові.   Г. Визначити неможливо.

□       При підкиданні двох гральних кубиків 4 очка може з'явитися як: 3 + 1,  2 + 2, 1 + 3 (перший доданок — кількість очок, що може з'явитися на верх­ній грані першого кубика, другий — на верхній грані другого), всього 3 з 36 рівноможливих способів. А 9 очок — чотирма способами: 6 + 3, 5 + 4, 4 + 5, 3 + 6. Тому більше шансів з'явитися має сума 9. 

Відповідь: Б. 9.

4.      У класі слухняних дівчат стільки ж, скільки неслухняних хлопців. Кого в класі більше: слухняних дітей чи хлопців?

А. Слухняних дітей. Б. Хлопців.

В. Однаково.     Г. Визначити неможливо.

□       Нехай у класі а хлопців, Ь слухняних дівчат, тоді в класі Ь неслухняних хлопців, а - Ь слухняних хлопців. Усього слухняних дітей: Ь + (я - Ь) = а, тобто стільки ж, скільки хлопців. В

Відповідь: В. Однаково.
5. У квадраті відзначені вершини і, окрім того, по одній точці на кожній зі сторін. Скільки можна побудувати чотирикутників з вершинами у відзначених точках?
А. 25.        Б. 36.

В. 48.         Г. 49.

□ Занумеруємо точки квадрату, як на вашому рисунку. Випи­шемо четвірки точок, що можуть бути вершинами чотири­кутника (серед них не може бути трьох точок, що лежать на одній стороні квадрата): 1245, 1246, 1247, 1248, 1256, 1257, 1258, 1267, 1268, 1346, 1347, 1348, 1356, 1357 (даний квад­рат), 1358, 1367, 1368, 1456, 1457, 1458, 1467, 1468, 1568, ' 2346, 2347, 2348, 2356, 2357, 2358 , 2367, 2368,2378, 2456,2457, 2458, 2467, 2468, 2478, 2568, 2578, 2678, 3467, 3468, 3478, 3568, 3578, 3678, 4568, 4578, 4678. Всього 50 способів. Один уже зображено, залишилося 49. Щ

Відповідь: Г. 49.

6. На площині проведені чотири прямі. На першій відзначено 5 точок, на другій — 6 точок, на третій — 7 точок, на четвертій — 8 точок. Яка найменша кількість різних точок може бути відзначена?
А. 20.        Б. 22.         В. 24.         Г.26.

□       Найменшу кількість різних точок буде відзна­чено, якщо буде  найбільшою кількість точок пе­ретину прямих. Саме точки перетину доцільно вважати відзначеними, тому що вони лежать на двох і більш прямих. З іншого боку, усі прямі мають попарно перетинатися, але жодні три не перетинатися в одній точці (у супротивному ви­падку кількість точок перетину зменшиться). При цьому усього буде 6 то­чок попарного перетину прямих, і на кожній прямій виявляться відзначе­ними по три точки. Залишиться додати на першій прямій 2 точки, на дру­гій — 3, на третій — 4 і на четвертій — 5. Усього буде відзначено 20 точок (див. рис). ■

Відповідь: А. 20.

АРИФМЕТИЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ 6 КЛАСУ

1. Бригада кроликів виростила врожай капусти, але не змогла його поділити. Якби кожен кролик узяв по 6 качанів, то 5 качанів залишилось би. А по 7 качанів вони взяти не могли, бо для цього їм 5 качанів не вистачало. Скільки кроликів було в бригаді? Скільки качанів капусти вони виростили?

2. Буратіно поклав у банк «Поле чудес» 2000 сольдо на два види вкладу, причому по одному  виду вкладу йому нарахували 6% річних, а по другому – 9%.через рік Буратіно отримав 144 сольдо прибутку. Знайдіть, яку суму вніс Буратіно на кожний вид вкладу.

3. В одному бідоні було в 4 рази більше молока, ніж у другому. Коли с першого бідона перелили в другий 20 л молока, то виявилося , що кількість молока в другому бідоні становить 7/8 того, що залишилося у першому. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку.

4. Фермер привіз на базар бідон молока і за першу годину продав 5/9 молока. Якби він продав ще 20 л , то виявилось би, що продано 5/6 молока. Скільки літрів молока було в бідоні?

5. На полиці стояли книжки. Спочатку взяли на 2 книжки менше від 1/3 усіх книжок, а потім половину книжок, що залишилися. Після цього на полиці стало 9 книжок. Скільки книжок було на полиці спочатку?

6. Два велосипедисти вирушили одночасно з двох міст назустріч один одному. Коли вони зустрілися, то виявилося, що один з них проїхав 4/9 усього шляху і ще 12 км, а другий – половину того, що проїхав перший. Знайдіть відстань між містами.

7. 12 хлопчиків обмінялися своїми адресами. Скільки було роздано адрес?

8. Теплохід  проходить відстань між двома пристанями і повертаєеться назад (без зупинки) за 4, 5 год. Швидкість теплохода в стоячій воді становить 18 км\год, а швидкість течії річки – 2 км\год. Знайдіть відстань між пристанями.

9. Розгорнутий кут поділили на три кути так, що один з утворених кутів становить 85% третього кута, а другий - 40% третього. Знайдіть градусні міри цих кутів і виконайте рисунок.

10. Прямий кут(90⁰) поділили на три частини так, що одна частина більша за другу на 10% , а третя менша від другої на 10%. Обчисліть градусну міру кожної частини і виконайте рисунок.

11. Протягом року в Сонячному місті хмарних днів було на 23 дні більше, ніж днів із дощем або снігом, ін а 262 дні менше, ніж сонячних днів. Скільки було сонячних днів протягом цього року, якщо відомо, що він не був високосним?

12. У шестикутнику п’ять сторін мають рівні довжини, а шоста відрізняється від них на 1,2 см. Знайдіть сторони шестикутника, якщо периметр дорівнює 37,2 см. Скільки розв’язків має задача.

13. Довжина прямокутника становить 130% ширини. Обчисліть площу цього прямокутника, якщо його периметр дорівнює 36,8 см.

14. Земельні угіддя агрофірми мають площу1220 га. Площа поля на 25% більша, ніж площа лісу, а площа лугу-на 80 га , менше ніж площа лісу. Знайдіть, яку площу окремо займають поле, ліс і лук.

15. За два дні посадили 56 кущів троянд, причому другого дня посадили в 12/3 раза більше, ніж першого. Знайдіть скільки кущів посадили за перший день і скільки-за другий.

16. За три дні продали 130кг апельсинів. За другий день продали 4/9 того, що продали за перший, а за третій стільки, скільки за перші два дні разом. Скільки кілограмів апельсинів продали за перший день?

17. Турист подолав маршрут, довжина якого 110 км, за 3 дні. За другий день він пройшов на 5 км менше., ніж за перший, а за третій день – 3/7 відстані, пройденої  за перші два дні. Знайдіть, скільки кілометрів проходив турист щодня.

18.Зібрали 15 кг білих грибів, з них 30% пішло у відходи при підготовці грибів до сушіння, а під час сушіння частина грибів, що залишилась, втратила 76% своєї маси. Скільки сушених грибів отримано?

 19. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо кожну сторону збільшити на 10%?

20. Сторону прямокутника дорівнюють 20 см і10 см. Одну сторону збільшили на 20%, а другу сторону збільшили на 25%. Знайдіть периметр утвореного прямокутника, якщо початкового сторони прямокутника рівні 20 см та 40 см.

21. З двох станцій, відстань між якими дорівнює 360 км, Одночасно вирушили на зустріч один одному два поїзди. Швидкість одного з них на 10км/год менше від швидкості другого. Знайдіть швидкість кожного поїзда, якщо вони зустрілися через 2,4 год після початку руху.

22. Дві машини рухаються на зустріч одна одній. Швидкість однієї з них дорівнює 75  км/год  що становить  5/6 швидкості другої. Друга машина виїхала на одну шосту години пізніше за першу через скільки годин після виїзду другої машини вони зустрінуться, якщо початкова відстань становить 615 км?

23. Вантажівка проїхала ґрунтовою дорогою на 210 км більше, ніж асфальтованою, при чому довжина асфальтованої дороги становила 2/9 довжина ґрунтової. Час руху вантажівки асфальтованою дорогою становив 20% часу руху ґрунтовою. Знайдіть швидкість руху вантажівки на кожній з доріг, якщо на всю дорогу було витрачено 7,2 год.

24. Від села до станції Василько може доїхати на велосипеді за 3 год. , а діти пішки – за 7 год. Його швидкість пішки на 8 км / год  менше ніж швидкість на велосипеді. З якою швидкістю їздить Василько на велосипеді? Яка відстань від села до станції?

25. З одного міста  в протилежних напрямках вирушили два пішоходи. Один з них вирушив на 2,5 год раніше від другого і рухався зі швидкістю 8 км/ год. Швидкість другого становила 75 %  швидкості першого. Через скільки годин після початку руху другого пішохода відстань між ними була 41 км?

26. З міста А виїхала машина зі швидкістю 48 км/ год. Через півтори години в тому самому напрямі виїхала друга машина, швидкість якої 11/8 рази більше за швидкість першої. На якій відстані від міста А друга машина наздожене першу?

27. У шаховому турнірі брало участь 12 гравців. Турнір проходив за круговою системою, тобто кожний учасник турніру грав з іншими по одному разу. Скільки всього було зіграно шахових партій?