Степеневі лишки при діленні степенів на 100

Таблиця довжини двоцифрових періодів степенів цифр.

(Степеневі лишки при діленні на 100)

  mⁿ º ab(mod 100).

Основа	2	3	4	5	6	7	8	9
Довжина  двоцифрового періоду  ….аb	20(поч. з 04)	20	10	1	6	4	20	10
Довжина  одноцифрового періоду  ….аb	4	4	2	1	1	4	4	2
Критерій парності двох цифр лишку	k & 2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1	2k+1&2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1
m1	02	03	04	05	06	07	08	09
m2	04	09	16	25	36	49	64	81
m3	08	27	64	25	16	43	12	29
m4	16	81	56	25	96	01	96	61
m5	32	43	24	25	76	07	68	49
m6	64	29	96	25	56	49	44	41
m7	28	87	84	25	36	43	52	69
m8	56	61	36	25	16	01	16	21
m9	12	83	44	25	96	07	28	89
m10	24	49	76	25	76	49	24	01
m11	48	47	04	25	56	43	92	09
m12	96	41	16	25	36	01	36	81
m13	92	23	64	25	16	07	88	29
m14	84	69	56	25	96	49	04	61
m15	68	07	24	25	76	43	32	49
m16	36	21	96	25	56	01	56	41
m17	72	63	84	25	36	07	48	69
m18	44	89	36	25	16	49	84	21
m19	88	67	44	25	96	43	72	89
m20	76	01	76	25	76	01	76	01
m21	52	03	04	25	56	07	08	09

Отже, можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки  для степенів цифр: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

Квадратні лишки.  Остачі при діленні квадратів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m² = m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1;  на 3, то отримаємо остачі 0, 1;  на 4, то отримаємо остачі 0, 1;  на 5, то отримаємо остачі 0, 1, 4; на 6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4; на 8, то отримаємо остачі  0, 1, 4; на  9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 5, 6, 9; на 11, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 5, 9;  на 12, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;   на 13, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12;  на 14, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 4, 8, 9;  на 15, то отримаємо остачі 0, 1,4, 6,  9, 10;  на 16, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;  на 17, то  отримаємо остачі 0, 1, 4, 8, 9,15.

Кубічні лишки. Остачі при діленні кубів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m³ = m∙m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1; на 3, то отримаємо остачі 0, 1, 2; на 4, то отримаємо остачі 0, 1, 3; на 5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 6; на 8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7; на 9, то отримаємо остачі  0, 1, 8; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.

Четвіркові лишки. Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа.

Якщо четверту степінь натурального числа, тобто,  m⁴ = m∙m∙m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1;

на  3, то отримаємо остачі 0, 1; на 4, то отримаємо остачі 0, 1; на 5, то отримаємо остачі 0, 1; на  6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4; на 8, то отримаємо остачі  0, 1; на 9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 5, 6.

П’ятіркові лишки. Остачі при діленні п’ятих степенів на натуральні числа.

Якщо п’яту степінь натурального числа, тобто,  m⁵ = m∙m∙m∙m∙m, поділити на:  2, то отримаємо остачі 0, 1;

на 3, то отримаємо остачі 0, 1, 2; на 4, то отримаємо остачі 0, 1, 3; на 5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

на 6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; на 7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; на 8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7; на 9, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4, 5, 7, 8; на 10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.

Комплексне завдання 

на властивості арифметичних дій 

на множині натуральних чисел.

Розподілити  31 твердження на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Із будь-яких  трьох послідовних непарних, починаючи з 7, одне з них ділиться на 3.
2. Існують чотири прості числа  m, n, k, p, які задовольняють вираз m + n = p – n = k.
3. Існує  таке натуральне число m,   що вираз m² + 1 ділиться на m без остачі.
4. Добуток різниці та суми  двох натуральних  чисел 2m і 2n  є складеним  числом, де m ≥ n.
5. Сума добутку та різниці  двох натуральних  чисел 3m і 2n  є простим  числом, де m ≠ n.
6. Сума частки та добутку двох взаємно простих  чисел 2m і 2n+1  є  простим  числом, де m ≠ n.
7. Якщо два прості числа n ≥ m, то існує єдине просте число x, яке задовольняє рівняння m + х = n,.
8. Добуток  двох простих чисел є простим числом.
9. В  множині складених чисел завжди виконуються дві дії: додавання, та множення. Тобто, результати цих дій є складеними числами.
10. Будь-яке складене число можна представити як суму його дільників.
11. Нуль ділиться на будь-яке натуральне число, тобто 0 = b∙0.
12. Якщо m ділиться на b, а b ділиться на n , то m ділиться на n, де всі числа є простими.
13. Якщо кожний доданок суми простих чисел ділиться на  просте число m, то сума
    поділиться на 2m без остачі.
14. Якщо кожне число різниці двох складених чисел ділиться на просте m, то різниця
    завжди поділиться на m без остачі.
15. Трицифрове число, записане однаковими цифрами, не ділиться на 37.
16. Тризначне число має дві однакові останні цифри, а сума його цифр ділиться на 7, то і саме число ділиться на 7.
17. При будь-якому натуральному  m число m⁵ − m ділиться на 30.
18. При будь-якому  натуральному  m  числа 5m+3, 7m-3 і 3m+2 не є точним квадратом числа.
19. При будь-якому  натуральному m число m³+5m не ділиться на 6.
20. При будь-якому натуральному  m число m²+m+2 є непарним.
21. При непарних натуральних числах   n і m вираз n²-m² ділиться на 8.
22. Трицифрове число, яке не ділиться на  7, 11 і 13 послідовно записали двічі і одержали шестицифрове число. Тоді шестицифрове число завжди ділиться на 7, 11 і 13.
23. Якщо число n + 4m ділиться на 13, де n і m натуральні числа, то і число 10n+m не ділиться на 13.
24. Якщо число 2т+5n ділиться на 17, де т і nнатуральні числа, то 8т+3n ділиться на 17.
25. Якщо число 3n+2m ділиться на 19, де n і m натуральні числа, то 8n-m ділиться на 19.
26. Шестизначне число m = а₅10⁵+а₄10⁴+а₃10³+а_г10²+а_І10+а₀,  

                          у якого  [(а_о+а_г+а₄)-(а₁+а₃+а₅)] : 11, то m: 11.

27. Шестизначне число m = а₅10⁵+а₄10⁴+а₃10³+а_г10²+а_І10+а₀,  

                            у якого  [(а_о+3а_]+2а₂)-(а₃+3а₄+2а₅)]:7, то m: 7.

28. Різниця шестизначного числа і числа, записаного тими ж самими цифрами в оберненому порядку, не ділиться на 9.
29. Якщо восьмицифрове число не містить рівних цифр, тоді добуток цифр ділиться на три.
30.  Якщо різниця будь-яких сусідніх цифр п’ятицифрового числа рівна одиниці, то добуток цифр ділиться на 8.
31. Якщо десятицифрове число не містить рівних цифр, тоді добуток цифр ділиться на 27.