Теорема.
Довільне натуральне n > 1 можна подати у вигляді добутку простих чисел.
Доведення (методом математичної індукції за n).
1. 2 – просте число,
тому 2 = 2 – шукане подання для n = 2.
2. Припустимо, що
твердження теореми справджується для всіх
n £ k.
Доведемо, що воно справджується і для n
= k + 1.
Можливі два випадки:
1) n = (k
+ 1) – просте. У даному разі n = n
є шуканим розкладанням на множники;
2) n = (k
+ 1) не є простим, тобто існують такі натуральні a та b, при яких
n = k+1 = ab, a >
2, b >
2.
З останніх співвідношень
випливає, що a та b не перевищують
(k + 1)∙0,5 і k.
Таким чином, для a і b
розкладення на прості множники існують. Перемноживши відповідні подання на прості множники, отримаємо розкладення на множники для (k + 1).
3. Таким чином, якщо твердження теореми
справджується для всіх натуральних n,
що не перевищують k, то воно справджується
і для всіх натуральних n, які не
перевищують (k + 1). На підставі 5-ої
аксіоми Пеано робимо висновок про істинність теореми.
Означення. Розкладення натурального числа на прості множники називають канонічним, якщо прості множники записують у порядку неспадання.
Приклад: Розкладення 21 = 3∙7 –
канонічне, а 21 = 7∙3 – не канонічне. Розклад 72 = 23∙32 – канонічний, а 72 = 32∙23 – не канонічний.
Зауваження.
Часто при перевірці простоти натурального числа використовують таке твердження:
«Якщо натуральне число а не ділиться на жодне
просте число, не більше квадратного кореня з числа а, то
воно просте.
Задачі на вироблення умінь та навичок.
1. Розкладіть на прості множники такі числа та
запишіть цей розклад у канонічному вигляді: рк∙gn∙qm.
84; 72; 92; 57; 39; 18; 28; 74; 86; 56; 75; 77; 87; 51; 66; 105; 168; 140; 462; 216; 360;
504; 308;
156; 210; 630; 108; 1728; 455; 1575; 1840; 684; 1700; 24; 36; 51; 22; 13; 23; 27; 74;14; 52; 62; 57; 49; 54;
38;
18; 28; 74; 86; 56; 55; 87; 78; 42; 69; 169; 196; 212; 200; 333; 1003; 1000.
2. Знайдіть кількість дільників таких
складених чисел та запишіть довільні три
дільники, використавши розклад чисел на прості множники із завдання 1 та
формулу кількості дільників
(к+1)(n+1)(m+1), де складене число має
такий вигляд рк∙gn∙qm.
84; 72; 92; 57; 39; 18; 28; 74; 86; 56; 75; 77; 87; 51; 66; 105; 168; 140; 462; 216; 360;
504; 308;
156; 210; 630; 108; 1728; 455; 1575; 1840; 684; 1700; 24; 36; 51; 22; 13; 23; 27; 74;14; 52; 62; 57; 49; 54;
38;
18; 28; 74; 86; 56; 55; 87; 78; 42; 69; 169; 196; 212; 200; 333; 1003; 1000.
3. Випишіть лише ті добутки, які містять
тільки прості множники. Для цього скористайтеся таблицею простих чисел.
8∙44; 17∙2; 24∙2; 15∙7; 1∙18; 12∙5; 7∙11; 13∙17; 7∙15; 70∙7;
8∙7; 5∙14; 10∙5; 16∙8; 17∙47;
41∙6;
28∙6; 13∙61; 53∙4; 3∙89; 5∙6; 2∙19; 37∙3; 1∙8; 17∙23; 45∙5; 83∙17; 18∙40; 6∙84; 1∙77; 2∙4; 3∙6; 5∙19; 2∙13;
2∙3; 2∙7; 7∙4;1∙4; 5∙29; 6∙2; 5∙7; 4∙9; 5∙4;
3∙8; 35∙60; 2∙12;
7∙17; 80∙6; 55∙34; 87∙41; 7∙8; 4∙2; 16∙9; 19∙6; 23∙2; 2∙300; 33∙3; 100∙3; 10∙200.
4.
Випишіть лише ті добутки, які діляться на три довільні прості числа:
8∙44; 17∙2; 24∙2; 15∙7; 1∙18; 12∙5; 7∙11; 13∙17; 7∙15; 70∙7;
8∙7; 5∙14; 10∙5; 16∙8; 17∙47;
41∙6;
28∙6; 13∙61; 53∙4; 3∙89; 5∙6; 2∙19; 37∙3; 1∙8; 17∙23; 45∙5; 83∙17; 18∙40; 6∙84; 1∙77; 2∙4; 3∙6; 5∙19; 2∙13;
2∙3; 2∙7; 7∙4;1∙4; 5∙29; 6∙2; 5∙7; 4∙9; 5∙4;
3∙8; 35∙60; 2∙12;
7∙17; 80∙6; 55∙34; 87∙41; 7∙8; 4∙2; 16∙9; 19∙6; 23∙2; 2∙300; 33∙3; 100∙3; 10∙200.
4. Випишіть лише ті добутки, які діляться на
4:
8∙44; 17∙2; 24∙2; 15∙7; 1∙18; 12∙5; 7∙11; 13∙17; 7∙15; 70∙7;
8∙7; 5∙14; 10∙5; 16∙8; 17∙47;
41∙6;
28∙6; 13∙61; 53∙4; 3∙89; 5∙6; 2∙19; 37∙3; 1∙8; 17∙23; 45∙5; 83∙17; 18∙40; 6∙84; 1∙77; 2∙4; 3∙6; 5∙19; 2∙13;
2∙3; 2∙7; 7∙4;1∙4; 5∙29; 6∙2; 5∙7; 4∙9; 5∙4;
3∙8; 35∙60; 2∙12;
7∙17; 80∙6; 55∙34; 87∙41; 7∙8; 4∙2; 16∙9; 19∙6; 23∙2; 2∙300; 33∙3; 100∙3; 10∙200.
5. Випишіть лише ті добутки, які діляться лише
на непарні числа:
8∙44; 17∙2; 24∙2; 15∙7; 1∙18; 12∙5; 7∙11; 13∙17; 7∙15; 70∙7;
8∙7; 5∙14; 10∙5; 16∙8; 17∙47;
41∙6;
28∙6; 13∙61; 53∙4; 3∙89; 5∙6; 2∙19; 37∙3; 1∙8; 17∙23; 45∙5; 83∙17; 18∙40; 6∙84; 1∙77; 2∙4; 3∙6; 5∙19; 2∙13;
2∙3; 2∙7; 7∙4;1∙4; 5∙29; 6∙2; 5∙7; 4∙9; 5∙4;
3∙8; 35∙60; 2∙12;
7∙17; 80∙6; 55∙34; 87∙41; 7∙8; 4∙2; 16∙9; 19∙6; 23∙2; 2∙300; 33∙3; 100∙3; 10∙200.
6. Випишіть лише ті добутки, які мають чотири
дільники:
8∙44; 17∙2; 24∙2; 15∙7; 1∙18; 12∙5; 7∙11; 13∙17; 7∙15; 70∙7;
8∙7; 5∙14; 10∙5; 16∙8; 17∙47;
41∙6;
28∙6; 13∙61; 53∙4; 3∙89; 5∙6; 2∙19; 37∙3; 1∙8; 17∙23; 45∙5; 83∙17; 18∙40; 6∙84; 1∙77; 2∙4; 3∙6; 5∙19; 2∙13;
2∙3; 2∙7; 7∙4;1∙4; 5∙29; 6∙2; 5∙7; 4∙9; 5∙4;
3∙8; 35∙60; 2∙12;
7∙17; 80∙6; 55∙34; 87∙41; 7∙8; 4∙2; 16∙9; 19∙6; 23∙2; 2∙300; 33∙3; 100∙3; 10∙200.
Немає коментарів:
Дописати коментар