Задачі на дослідження властивостей чисел

1.       Чи вірно, що якщо натуральне число a взаємно просте з кожним із натуральних чисел p, g, s, тоді число a  взаємно просте з такими добутками p∙g∙s,  p∙g,  p∙s, g∙s?

Відповідь: так, вірно завжди.

2.       Чи вірно, що якщо натуральне число a  взаємно просте з добутком p∙g∙s,  тоді число a взаємно просте з кожним із натуральних чисел p, g, s,  p∙g,  p∙s, g∙s?

Відповідь: так, вірно завжди.

3.       Чи вірно, що якщо натуральне число a взаємно просте з кожним із натуральних чисел p, g, s, тоді число a  взаємно просте з сумою p+g+s?

Відповідь: не вірно.

4.       Чи вірно, що квадрат натурального числа при діленні на 3 має остачі 0 або 1?

Відповідь: так, вірно завжди.

5.       Чи  вірно, що остача при діленні даного натурального числа на 3 дорівнює остачі при діленні на 3 суми цифр даного числа?

Відповідь: так, вірно завжди.

6.       Чи вірно, що квадрат натурального числа при діленні на 5 має остачі 0, або 1, або 4?

Відповідь: так, вірно завжди.

7.       Чи  вірно, що остача при діленні даного натурального числа на 9 дорівнює остачі при діленні на 9 суми цифр даного числа?

Відповідь: так, вірно завжди.

8.       Чи вірно, що квадрат натурального числа при діленні на 4 має остачі 0 або 1?

Відповідь: так, вірно завжди.

9.       Чи  вірно, що число a  ділиться на двійку в степені  m тоді і тільки тоді, коли на двійку в степені  m  ділиться число, яке утворене  m  останніми цифрами десяткового запису   даного натурального числа a?

Відповідь: так, вірно завжди.

10.    Чи вірно, що на 27 діляться націло ті і тільки ті числа, у яких сума цифр даного натурального числа ділиться  на 27 націло?

Відповідь: не вірно.

11.    Чи вірно, що на 9 діляться націло ті і тільки ті числа, у яких сума цифр даного натурального числа ділиться  на 9 націло?

Відповідь: так, вірно завжди.

12.    Чи вірно, що на 11 діляться націло ті і тільки ті числа, у яких різниця сум  цифр даного натурального числа, які розташовані в десятковому запису на парних і непарних місцях, відповідно ділиться  на 11 націло?

Відповідь: так, вірно завжди.

13.    Чи  вірно, що остача при діленні даного натурального числа на 7 дорівнює остачі при діленні на 7 суми цифр даного числа?

Відповідь: не вірно.

14.    Чи вірно, що кількість дільників натурального числа a, яке ділиться тільки на три прості числа p, g, s, дорівнює (n+1)(m+1)(r+1), де n – показник степеня простого числа p в канонічному розкладі числа a на прості множники,   m -  показник степеня простого числа g  в канонічному розкладі числа a на прості множники,     r -  показник степеня простого числа s  в канонічному розкладі числа a на прості множники?

Відповідь: так, вірно завжди.

15.    Чи  вірно, що три послідовні натуральні числа являються попарно взаємно простими?

Відповідь: не вірно.

16.    Чи вірно, що квадрат натурального числа при діленні на 5 має остачі 3?

Відповідь: не вірно.

17.    Чи  вірно, що просте число, яке більше трьох, можна записати у вигляді 6∙m+1 або 6∙m-1, де m – натуральне число?  

Відповідь: так, вірно завжди.

18.    Чи вірно, що існує просте натуральне число, яке можна записати у вигляді 78∙m+39 або 78∙m+65, де m – натуральне число?  

Відповідь: не вірно.

50. Формули скороченого множення для цілих числових виразів.

Степінь двочлена. (Біном Ньютона)

(a±b)⁰ = 1;

(a±b)¹ = a±b

(a±b)² = a²±2ab +b² –  це квадрат суми або різниці двох чисел;

(a±b)³ = a³±3a²b +3ab² ±b^{3  –} це куб суми або різниці двох чисел;;

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² +b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ±b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

a² + b² – не розкладається на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a–b)(a+b) – це різниця квадратів двох виразів.

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);).

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ– bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ– 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Для непарних n

аⁿ+ bⁿ= (a+b)( a^n-1-а^n-2b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

a²ⁿ⁺¹+ 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac)

(a+b+c)² = a² + b² +c² +2аb+2bc+2ac