Відношення порядку на множині натуральних чисел

Означення. Натуральне число m більше, ніж натуральне число к, якщо існує таке натуральне число n, що

m = к + n.

В даному разі також кажуть, що к менше, ніж m.

Самі відношення «більше, ніж» та «менше, ніж» записують відповідно в такому вигляді:  

m > к   «число m більше, ніж  число к »

та  

к < m   «число к менше, ніж число m ».

Відношення порядку має такі властивості:

1) Для довільних двох натуральних чисел справджується одне й
лише одне з тверджень: або перше більше, ніж друге, або друге
більше, ніж перше, або вони рівні між собою;

2) Нехай  m>к і к>n,  тоді m>n , тобто,  якщо одне число більше, ніж друге, а друге більше, ніж третє, то перше число більше, ніж третє;

3) Нехай m > к, тоді m+n > к+n, тобто, до обох частин нерівності можна додавати одне й те саме число зі збереженням знаку нерівності;

4) Нехай m > к, тоді mn > кn тобто, обидві частини нерівності можна множи­ти на одне й те саме натуральне число зі збереженням знаку нерівності.

Зауваження. Легко сформулювати властивості, аналогічні до трьох останніх, для відношення порядку "менше", здійснивши формальну замі­ну >(більше) на <(менше).

 Найбільше та найменше значення числової множини

Якщо деяка непорожня підмножина натурального ряду містить скінчену(обмежену) кількість чисел, то серед них існує найменше(мінімальне) число цієї підмножини та найбільше(максимальне) число цієї підмножини.

Означення. 

1.      Елемент n називають найменший елемент множини М для відношення порядку <,  якщо   для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність n < m.   

Такий елемент, якщо він існує, позначають так: minМ або  

n = min    m;

mÎМ

2.      Елемент n називають найбільший елемент множини М для відношення порядку <,   якщо   для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність m < n.  

 Такий елемент, якщо він існує, позначають так: mахМ або

n = max  m;

mÎМ

Зауваження. Найбільшого  натурального числа не існує (див. аксіому 2). Якщо для підмножини А натурального ряду існує таке натуральне число, що більше, ніж будь-який елемент А, то існує найбільший елемент А.

Зауваження. Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати  в порядку зростання від найменшого до найбільшого.

 Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати  в порядку спадання від найбільшого до найменшого.

Перевірте свою кмітливість у грі «Таємниця», яку вигадав математик Сергій Вінницький:

Правила гри: Граюють двоє. Кожний   гравець за своїм ходом задумує певну закономірність для восьми натуральних чисел, але для суперника записує лише  п’ять перших послідовних числа. І передає їх супернику.  Кожний суперник за п’ять хвилин повинен відгадати чужу закономірність з п’яти чисел, тобто, правильно продовжити її на три числа. Якщо він вірно відгадав(тобто три числа відповідають(рівні) числам того, хто задумав, то отримує очко. У випадку, коли закономірність  гравець не відгадав, то він отримує  нуль очок, а той хто задумав одне очко.  Повністю розкривати власну «таємницю п’яти чисел» для суперника не обов’язково, для виграшу досить того, щоб три останні числа у двох гравців були рівні.  Другий тур гри повторюється так,  як і попередній, але кожний гравець задумує іншу  вісімку натуральних чисел. Виграє той гравець, який першим набрав п’ять очок.  Нічия, якщо обидва суперники в після якогось туру отримали одразу по п’ять очок.

Комплексне завдання 

на дослідження властивостей арифметичних дій 

на множині натуральних чисел.

Розподілити  двадцять  тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Добуток двох чисел дорівнює 150. Перше число упівтора рази більше другого. Тоді ці числа непарні.
2. У змаганнях беруть участь 90 дітей. У кожного на грудях табличка з номером від 10 до 99 включно. Тоді сума перших цифр на  всіх номерах 450.
3. 17 способами число 4 можна подати у вигляді суми трьох натуральних чисел, якщо варіанти, які відрізняються порядком доданків, вважати різними.
4. Додали два числа. Їх сума виявилась на 26 більше від другого доданку. Тоді пер­ший доданок рівний 6.
5. Додали два числа. Виявилось, що перший доданок на 34 менший за суму. Тоді дру­гий доданок не дорівнює 43.
6. 198 – це найбільше значення суми двох будь-яких двоцифрових чисел.
7. 2000 − це найменше значення суми двох  будь-яких чотирицифрових чисел.
8. Сума двох чисел  19, а їх різниця  9. Добуток цих чисел 70.
9. Сума  трьох натуральних чисел рівна добутку цих чисел. Ці три числа парні.
10. У звичайному наборі доміно 28 кісточок. Тоді 91 кісточку містило б доміно, у якого кількості очок, зазначені на кісточках, змінювалися б не від 0 до 6, а від 0 до 12.
11. Одне трицифрове число складається з по­слідовних цифр, розмішених у порядку зростання, друге число складається з тих самих цифр у порядку спадання, третє число складається з цих самих цифр. Тоді 465 − третє число, якщо сума всіх трьох чисел дорівнює 1575.
12. Щоб  переномерувати сторінки книги вистачило 1164 цифри. В цій книзі  446 сторінки.
13. 1800 є п'ятицифрових чисел, які діляться на 5.
14. Цифрами 2, 4, 7, 9 не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…;  1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…;  і так далі.
15. Цифрами 2, 3, 7, 8 не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…;  1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…;  і так далі.  
16. Добуток двох рівних чисел дорівнює натуральному числу К. Якщо один множник збільшити на 20, а другий зменшити на 20, то не зміниться добуток.
17. Від ділення числа А на В отримали найменше  двоцифрове число і остачу 1. Тоді число А, як вираз з числом  В, записується А = Вх - 1.
18. Добуток двох чисел дорівнює 72, при цьому перше число в два раза більше другого. Тоді 58 − це різниця між сумою та добутком цих чисел.
19. Я задумав число і збільшив його втричі. До добутку додав  12 і отримав 60. Тоді задумане число парне.
20. На 1000 гривень придбали 100 птахів трьох видів. Індичка коштує 100 грн., гусак − 30, курча − 5. Серед інших придбаних птахів 5 індичок.