Прості та складені числа

Визначення. Натуральне число р називається простим, якщо р > 1 и р не має  дільників, відмінних від 1 і р.

Приклади простих чисел: 2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 101, 103, …, 1987,  1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029 , 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2089, 2099, …

Теорема Евкліда. Простих чисел безліч.

Доведення (від супротивного).

Припустимо, що р₁, р₂, ... , p_n – всі різні прості числа натурального ряду. Тоді всі числа, відмінні від простих дільників, кратні хоча б одному з елементів р₁, р₂, ... , р_n. Проте таке натуральне число

(р_1∙p₂ ∙…∙p_n + 1) – взаємно просте з усіма цими числами. Отримана суперечність засвідчує хибність припущення про скінченність множини простих елементів.

Усі натуральні числа поділяються на три групи:

1 множина – це одиниця, має тільки один дільник.

2 множина – це прості числа, які мають тільки по два дільники,

3 множина – це складені числа, які мають більше, ніж два дільника.

Теорема. Складених чисел безліч.

Теорема Вільсона. При простому р має число вигляду ((р-1)!+1) ділиться без остачі на просте число р.

Теорема про розклад числа n! . Просте число р входить у розклад числа n! на прості множники в степені [n/p]+[ n/p²]+ [n/p³]+ [n/p⁴]+… (придосить великих значеннях k маємо [n/p^k]=0).

Мала теорема Ферма. Ящо ціле число а не ділиться на просте число р, то число а^р-1 -1 ділиться націло на р.

Теорема. Нехай р – просте число. Тоді для довільного цілого а:  а^р-а ділиться націло на р.

22. Математичний диктант № 1. Прості і складені числа

1.    Запишіть найменше чотирицифрове складене число, сума цифр якого дорівнює  4. (1003)

2.    Запишіть найменше чотирицифрове складене число,  сума цифр якого дорівнює  9. (1008)

3.    Запишіть найбільше чотирицифрове складене число, сума цифр якого дорівнює 12. (9300.)

4.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найменше складене число. (1023456798).

5.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найбільше  число, яке в розкладі на прості множники має множник 5. (9876543210)

6.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найменше число, яке в розкладі на прості множники має множники 2 і 3. (1023456798).

7.    З’ясуйте, який із добутків містить більше простих дільників 21*75 чи 65*34? (другий добуток має більше простих дільників , бо це 5; 2;13; 17, а перший − 3, 7, 5).

8.    Чи завжди правильне твердження: «Якщо кожний доданок суми є складене число, то й їх сума складене число».  (не завжди, наприклад 4+9=13).

9.    Чи завжди  правильне твердження: «Якщо кожний доданок суми  є  просте число, то й їх сума складене число». ( не завжди, бо 3+5 =8).

10.                      Чи завжди  правильне твердження: «Якщо кожна цифра числа  є простим числом, то це число просте». (не завжди, бо 2375- складене число).

11.                      Чи завжди  правильне твердження: «Якщо число просте, то це число ділиться на 41». (не завжди, наприклад, число 2).

12.                      Чи завжди  правильне твердження: «Якщо число ділиться лише на 1, то це число просте». ( ні)

23. Математичний диктант № 2

1.    Запишіть найменше трицифрове число, яке ділиться на 5 і сума цифр якого дорівнює  4. (130)

2.    Запишіть найменше трицифрове число, яке ділиться на 5 і сума цифр якого дорівнює  9. (135)

3.    Запишіть найбільше трицифрове число, яке ділиться на 5 і сума цифр якого дорівнює 12. (930.)

4.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найбільше число, яке ділиться на 3. (9876543210).

5.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найменше  число, яке ділиться на 5. (1023467895)

6.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найменше число, яке ділиться на 6. (9876543210).

7.    Використовуючи всі цифри від 0 до 9 тільки по одному разу, запишіть найбільше число, яке ділиться на 12. (9876543120)

8.    Чи завжди правильне твердження: «Якщо число К розклали на  декілька множників і тільки один множник  ділиться на деяке число М, то все число К ділиться на це число М».  (так ,завжди).

9.    Чи завжди  правильне твердження: «Сума п’яти послідовних натуральних чисел ділиться на 5». ( так, завжди).

10.                      Чи завжди  правильне твердження: «Якщо кожна цифра багатоцифрового  числа  ділиться на 2 і на 3, то це число ділиться на 6». (так, завжди).

11.                      Чи завжди  правильне твердження: «Якщо число ділиться на 3 і на 9 одночасно, то це число ділиться на 27». ( не завжди, наприклад, число 18).

12.                      Чи завжди  правильне твердження: «Якщо число ділиться на 36, то це число ділиться на 18». (так, завжди, бо число 18*2=36).

24. Математичний диктант № 3. Ознаки  подільності натуральних чисел.

1.    Запишіть число 98 як добуток чотирьох натуральних чисел. (1*2*7*7=98)

2.    Запишіть усі дільники числа 98. (1, 2, 7, 14, 49, 98)

3.    Використовуючи цифри 0, 1, 4, 7  запишіть чотирицифрове число, яке не містить однакових цифр і  ділиться на 2, на 3 і не ділиться на 7. (7410 або 4710)
Запишіть найменше трицифрове число, яке ділиться на 3. (102)

4.    Запишіть найменше трицифрове число, яке ділиться на  9. (108)

5.    Знайдіть суму усіх дільники числа 28, які не більше 28. (1+2+4+ 7+14 = 28 )

6.    До числа 38 допишіть праворуч таку цифру, щоб одержане число діли­лося на 2 і на 5. (дописати 0, тобто 380)

7.    Запишіть усі трицифрові числа, що діляться на 9, використовуючи лише цифри 2, 7 і  9 по одному разу. (279, 297, 729, 792, 927, 972)

8.    Запишіть між  цифрами числа 20 дві однакові  цифри так, щоб отримане чотирицифрове число ділилося на 18. (2880)

9.    Число 252 запишіть як суму чотирьох різних доданків так, щоб  кожний доданок ділився і на три і на чотири одночасно. (12 + 60 + 36 +144 =252)

10.                      Число 270 запишіть як суму чотирьох різних доданків так, щоб  кожний доданок ділився і на три і на п’ять одночасно. (30+ 75 + 150 +15 =270)

11.                       Якщо чотирицифрове число складається  тільки з таких цифр 0; 3; 6; 9, тоді це число завжди можна записати як добуток: 3к. Чи завжди це вірно? (так, завжди, бо сума цифр цього числа ділиться на 3).

12.                       Якщо чотирицифрове число складається  тільки з таких цифр 0; 2; 4; 8, тоді це число завжди можна записати як добуток: 8к. Чи завжди це вірно? (не завжди, наприклад 8042 не ділиться на 8.)

25. Математичний диктант № 4. Складені та прості числа.

1.    Чи завжди сума двох парних чисел буде простим числом? (ніколи).

2.    Чи завжди добуток двох непарних чисел є простим числом? (не завжди, бо 1*17=17, а 3*9=27).

3.    Чи завжди добуток двох простих чисел є парним числом? (не завжди, бо 2*3=6, 3*5=15).

4.    Чи завжди добуток двох простих чисел є непарним числом? (не завжди,  бо 2*3= 6).

5.    Чотирицифрові числа складаються з парних цифр. Чи завжди такі числа  складені? (так, бо усі ці числа діляться на 2).

6.    Простим чи складеним є число 33 +77? (складене число).

7.    З’ясуйте, який із добутків містить більше простих дільників 2*75 чи 6*5? (Порівну простих дільників , бо це 2;3;5).

8.    Чи може виражатися простим числом периметр прямокутника, у якого довжини сторін є натуральними числами. (Ні, наприклад, це 2(к+а) є парне число).

9.    Чи завжди число є  складеним,  якщо сума цифр цього числа рівна 1. (не завжди).

10.                      Чи завжди сума чотирьох послідовних натуральних чисел є складеним числом? (Завжди, к+к+1+к+2+ к+ 3=2(2к+3), тобто, це число має дільник 2)

11.                      Чи завжди сума п’яти послідовних парних чисел ділиться на 2 і на 5? (Завжди,  2к+2к+2+2к+4+2к+6+2к+8 =10(к+2), тобто, це число має дільник 10).

12.                      Чи завжди сума шести будь-яких простих чисел є  простим числом?

(Незавжди,  2 + 3 + 5+ 7 + 11 + 13 = 41. Це число просте. Проте, якщо додати шість непарних простих чисел, то сума буде парна).

Задачі на осмислення  ознак подільності чисел.

1.      Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — одиниці. Знайти всі  такі числа, знаючи, що вони діляться без остачі на 72.

2.      Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — четвірки. Знайти всі такі числа, знаючи,   що   вони  діляться  без  остачі на 315.

3.      Дано натуральне число А.   Знаючи,   що   сума цифр числа А — це число В,   та число С — сума цифр числа В, обґрунтуйте подільність суми  А+В+С на найменше непарне просте число.
Якщо   до   двоцифрового   числа  додати  суму його цифр, вийде число, написане тими самими цифрами в зво­ротному порядку. Знайти це число.

4.      Якщо до  двоцифрового   числа   додати   суму його цифр,   а   потім зробити це саме із  знайденим числом, то вийде двоцифрове число, яке складається з тих самих цифр, що й початкове. Яке це число?

5.      Знайти натуральне  число, яке   більше   від   суми   його   цифр у 12 раз.

6.      Знайти  натуральне  число,   яке   більше   від   суми  його цифр в 11 раз.

7.      Знайти число, яке дорівнює квадрату суми його цифр.

8.      Знайти чотирицифрове число, яке дорівнює четвертому степеню суми його цифр.

9.      Знайти   чотирицифрове   число,   яке  в  чотири рази більше від числа, записаного тими самими цифрами в зво­ротному порядку.

10.  Записано першу тисячу натуральних  чисел. Яку цифру використано частіше від інших?

11.  Довести, що не існує точного  квадрата,   більшого за 9, всі цифри якого однакові.

12.  Визначити дві останні цифри числа 7²⁰⁰⁷?.

13.  Визначити дві останні цифри числа 4²⁰⁰⁷.

14.  Визначити дві останні цифри числа 56⁵⁶ .

15.  (Теорема Вінницького: m³ = m(mod m +1) та m³ = m(mod m -1), де m >1 )Доведіть, що всі двоцифрові числа, у яких цифри розташовані послідовно у порядку зростання, володіють такою властивістю: «куб цифри десятків  при діленні на цифру одиниць, дає остачу, що дорівнює цифрі десятків.»

16.   

Відповіді:

1.      41112, 11160. Останні три цифри діляться на 8, а сума їх цифр 9 або 18.

2.        44415.

3.      Використати ознаку подільності на 3.

4.        45.

5.       21.

6.       108.

7.       198.

8.       81.

9.      2401, досить перевірити четверті степені чисел 6, 7, 8, 9.

10.   

11.  Одиниця.

Таблиця простих чисел

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1069

1087

1091

1093

1097

1103

1109

1117

1123

1129

1151

1153

1163

1171

1181

1187

1193

1201

1213

1217

1223

1229

1231

1237

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1321

1327

1361

1373

1381

1399

1409

1423

1427

1429

1433

1439

1447

1451

1453

1459

1471

1481

1483

1487

1489

1493

1499

1511

1523

1531

1543

1549

1553

1559

1567

1571

1579

1583

1597

1601

1609

1613

1619

1621

1627

1637

1657

1663

1669

1693

1697

1699

1709

1721

1723

1733

1741

1747

1753

1759

1777

1783

1787

1789

1801

1811

1823

1831

1847

1867

1871

1871

1873

1877

1879

1889

1901

1907

1913

1931

1933

1949

1951

1973

1979

1987

1993

1997

1999

2003

2011

2017

2027

2029

2039

2053

2063

2069

2081

2083

2089

2099

2099

2111

2113

2129

2131

2137

2141

2143

2153

2161

2179

2203

2207

2213

2221

2237

2239

2243

2251

2267

2269

2273

2281

2287

2293

2297

2309

2311

2333

2339

2341

2347

2351

2357

2371

2377

2381

2383

2389

2393

2399

2411

2417

2423

2437

2441

2447

2459

2467

2473

2477

2503

2521

2531

2539

2543