Задачі на властивість натуральних чисел

1.             Які     цифри     зашифровані     буквами:     аа + b = bсс, аа +  аb= ссb

2.             Добуток двох чисел — це парне число. Чи завжди буде сума цих чисел парним числом?

3.             Добуток двох чисел — це непарне число. Чи завжди буде сума цих чисел непарним числом?          

4.             Доведи, що коли сума двох натуральних чисел є число непарне, то добуток цих чисел обов'язково буде парним.

5.             Відомо, що добуток двох натуральних чисел — непарне число. Яким числом буде сума цих чисел? 

6.             Скількома нулями закінчується добуток усіх натураль­них чисел від 1 до 30?

7.             Допиши два числа, яких не дописав попередній учень, якщо числа в ряду дібрані за певним правилом. Обгрунтуй, чому саме ці числа можна записати:

а) 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ?, ?;    б) 4, 7, 12, 21, 36, ?, ?;    в) 2, 3, 5, 9, ?, 33, ?;  г)1, 5, 6, 11, ?, 28, ?.

8.             В ряд записано сто чисел  1234567891011...9899100. Які цифри слід закреслити, не переставляючи залишених, щоб утворилось найбільше 92-цифрове число?

9.                           Склади вирази, у кожний з яких входили б лише знаки дій і чотири рази цифри 2 так, щоб їх значення дорівнювало чис­лам: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

10.                    У запису 88888888 постав між деякими цифрами знак додавання так, щоб вийшов вираз, значення якого дорівнює 1000.

11.                    У запису 1 23456789 постав між деякими цифрами знак «плюс» або «мінус» так, щоб вийшов вираз, значення якого дорівнює 100:                                                                                          .

12.                    Скількома способами можна записати число 50 у вигляді суми двох парних чисел (записи, які відрізняються лише порядком доданків, вважають однаковими)?

13.                    Скількома способами можна записати число 10 у вигляді суми чотирьох непарних чисел?

14.                    У касира є купюри по 5 крб. і 10 крб. Скількома способами він може дати здачу 50 крб.?

15.                    Знайди суму всіх трицифрових чисел, які можна записати за допомогою цифр 1, 2 і 3 так, щоб у кожному числі всі цифри були різні.

16.                    Із 100 іноземних туристів 75 знали німецьку мову і 83 − французьку. Скільки туристів знали і французьку і німецьку мови одночасно?

17.                    Є  три   посудини:   в  одну  входить  8 л,  у  другу − 5 л, а в третю −3 л. Перша посудина наповнена водою, а дві інші − порожні. Як за допомогою цих посудин відміряти 1 л води? Як від­ міряти 4 л води?

18.                      Скільки в кімнаті котів, якщо в кожному з чотирьох кут­ ків сидить по одному коту і проти, кожного кота — по три коти.

19.                      Є п'ять ланок ланцюга по три кільця в кожній. Скільки кілець треба розірвати і знову скувати, щоб зробити з усіх ланок один ланцюг?

20.                      На столі лежать 18 олівців. Двоє учнів по черзі беруть один, два або три олівці. Програє той, кому залишилось взяти останній олівець. Як повинен грати перший учень, щоб примусити свого суперника взяти останній олівець?

21.           Напиши найменше і найбільше шестицифрові числа, всі цифри в яких різні. Як зміниться відповідь, якщо в умові цієї задачі опустити фразу про те, що всі цифри в цих числах різні?

22.                         Назви 3 останні цифри добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32. Скільки останніх цифр числа можна назвати відразу, без обчислень? Як найпростіше визначити, скільки десятків міль­ йонів у цьому числі?

23.       Якщо від двоцифрового числа відняти 3, то різниця по­ділиться на 3. Якщо до цього числа додати 4, то сума ділиться на 4. Якщо від цього ж числа відняти 5, то і ця різниця теж ділиться на 5. Знайди найменше таке число. Чи можна твердити, що шукане
число ділиться на 15?

24.              У трьох ящиках 400  яблук.  Кількість яблук першого ящика становить половину кількості яблук другого ящика і третину числа яблук у третьому ящику. Скільки яблук у кожному ящику?

25.                         Задумай число, помнож  його на 4, до добутку додай число 19. Знайдену суму поділи на 4, від результату відніми задумане число   буде 4,75. Обгрунтуй, чому результат не залежить від задуманого числа.

26.             Знайди найбільше натуральне число х, яке є розв'язком нерівності: а)15x < 460;   б)30у < 312.

27.                         У коробці лежать олівці: 7 червоних і 5 синіх. Виймають олівці в темноті. Яку найменшу кількість олівців потрібно взяти, щоб серед них було не менше як два червоних і три синіх?

28.             У шафі лежать туфлі одного розміру: 6 пар чорних і 6 пар коричневих. Знайди найменшу кількість туфель, які треба взяти ' з шафи, щоб серед них була хоча б одна пара (лівий і правий туф­лі) одного кольору.