ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОГО ТРЕНІНГУ ДО МАТЕМАТИЧНИХ ЗМАГАНЬ

Частина 1. Арифметика

1.1 Наповнена доверху водою посудина важить 5 кг, а наповнена наполовину - 3 кг 250 г. Скільки води вміщає посудина?

1.2 Дев'ять однакових листівок коштують менше десяти рублів, а десять таких же листівок стоять більше одинадцяти рублів. Скільки коштує одна листівка? (Відомо, що одна листівка коштує ціле число копійок.)

1.3 У банк кладеться 100 руб. У якому випадку через 5 років вкладник отримає більше грошей: якщо банк нараховує 7 відсотків наявної суми разів на рік або якщо він нараховує 7/12 відсотка раз на місяць?

1.4 Міста, А і Б розташовані на річці в 10 км один від одного. На що пароплаву буде потрібно більше часу: пропливти від, А до Б і назад, або проплисти 20 км по озеру?

1.5 Фрекен Бок з'їдає торт за півгодини, Малюк - за годину, а Карлсон - за 5 хвилин. За який час вони з'їдять торт разом?

Частина 2. Подільність і остачі

2.1 Коник стрибає по прямій на 6 і на 8 см (в будь-яку сторону). Чи зможе він потрапити в точку, відстань від якої до отриманої дорівнює а) 7 см; б) 4 см?

2.2 Вася рве газету на 8 частин, одну із отриманих  частин - ще на 8, і так далі. Чи зможе він розірвати газету на 2002 частини?

2.3 Число при діленні на 2 дає в остачі 1, а при діленні на 3 дає в остачі 2. Знайдіть остачу від ділення цього числа на 6.

2.4 Доведіть, що k³-k ділиться на 6 при будь-якому цілому k.

2.5 На яку цифру закінчується число 3²⁰⁰²?

Частина 3. Комбінаторика

3.1, а) У паркані 20 дощок(пронумеровані), кожну треба пофарбувати в синій, або зелений, або жовтий колір, причому сусідні дошки повинні бути пофарбовані в різні кольори. Скількома способами це можна зробити? б) А якщо потрібно ще, щоб хоч одна з дощок була синьою?

3.2 У групі навчаються 5 осіб(3 хлопці і 2 дівчини). Скількома способами можна вибрати з них:

а) чергового та старосту; б) двох чергових; в) трьох чергових(2 дівчини і 1 хлопець); в) вишикувати в колону(за послідовністю: дівчинка-хлопчик-дівчинка-хлопчик-дівчинка)? 

3.3 У Петра є 5 книг з математики, а у Васі - 7 книг. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

3.4 У кухні 5 лампочок, кожна може горіти або не горіти. Скількома способами можна висвітлити кухню?

3.5 Меню в шкільному буфеті постійно і складається з 10 різних страв. Щоб урізноманітнити своє харчування, Петя вирішив щодня вибирати собі сніданок по-новому.

а) Скільки днів йому вдасться це робити?  б) Скільки страв він з'їсть за цей час?

Частина 4. Принцип Діріхле

4.1 У класі навчається 25 учнів.

а) Доведіть, що знайдуться 2 учні, які народилися в одному і тому ж місяці.

б) Чи обов'язково знайдуться 3 таких учня?

4.2 15 хлопців зібрали 100 горіхів. Доведіть, що якісь 2 з них зібрали однакову кількість горіхів.

4.3 Доведіть, що з будь-яких 10 натуральних чисел, жодне з яких не ділиться на 10, можна вибрати:  а) 2 числа, різниця яких ділиться на 10;  б) * декілька чисел, сума яких ділиться на 10.

4.4 З чисел 1, 2, ..., 49, 50 вибрали 26 чисел. Чи обов'язково серед них знайдуться два числа, що відрізняються один від одного на 1?

4.5 * Чи можна накрити рівносторонній трикутник двома меншими рівностороннього трикутника?

Частина 5. Логіка

5.1 Чи можна, маючи лише дві посудини місткістю 3 л і 5 л, набрати з крана у більший з цих судин 4 л води?

5.2 У числі 3141592653589793 закресліть 7 цифр так, щоб залишилося якомога більше число.

5.3 - У Діми більше тисячі книг!

- Та ні, у нього менше тисячі книг.

- Ну вже одна-то книга у нього є.

Відомо, що серед цих тверджень рівно один вірний.

Скільки книг може бути у Діми?

5.4 У Сергія було 7 картоплин, у Паші було 5, а у Колі взагалі не було. Вони зварили картоплю і розділили її порівну на трьох. Вдячний Коля дав Серьожі з Пашею 12 цукерок. Як вони повинні поділити їх по справедливості?

5.5 Змагання зі стрільби з лука проводилося в два дні. Кожен учасник у перший день вибив стільки очок, скільки всі інші разом у другий день. Доведіть, що всі учасники вибили порівну очок.

Частина 6. Геометрія

6.1 Намалюйте на площині а) 4;  б) 5;  в) 6 точок так, щоб будь-які 3 з них утворювали рівнобедрений трикутник.

6.2, а) На скільки частин можуть ділити площину: а)три;  б)чотири; в)пять різні прямі? Для кожного випадку намалюйте приклад.  б) Те ж питання для семи  прямих.

6.3 У трикутнику ABC кут B прямий, AB = BC = 1. На стороні AC взяли точку і знайшли суму відстаней від неї до сторін AB і BC. Чи можна напевно сказати, яке вийшло число?

6.4 Чи можна розрізати  трикутник на два гострокутних трикутника?

6.5 Дано лист клітинкового паперу. Як за допомогою олівця та лінійки намалювати квадрат, площа якого в 5 разів більше площі однієї клітини?

6.6 У трикутнику відзначили середини двох сторін. За допомогою тільки олівця і односторонньої лінійки без поділок знайдіть середину третьої сторони.

6.7 У трапеції ABCD підставу AD більше підстави BC. Що більше: сума кутів A і D або сума кутів B і C?

6.8 У трикутнику дві висоти не менше сторін, на які вони опущені. Знайдіть кути цього трикутника.

6.9 На стороні AB квадрата ABCD побудували (зовні) рівносторонній трикутник AKB. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника CKD, якщо AB = 1.

Частина 7. Різні завдання

7.1 Король зі свитою рухається з пункту, А в пункт Б зі швидкістю 5 км / ч. Щогодини він висилає гінців у Б, які рухаються зі швидкістю 20 км / ч. З якими інтервалами прибувають гінці в Б?

7.2 Ліспромгосп вирішив вирубати сосновий ліс, але екологи запротестували. Тоді директор ліспромгоспу всіх заспокоїв, сказавши: «В лісі 99 відсотків сосен. Ми будемо рубати тільки сосни. Після рубки сосни будуть становити 98 відсотків усіх дерев ». Яку частину лісу вирубає ліспромгосп?

7.3 - А у нас в класі 25 чоловік, і кожен дружить рівно з сімома однокласниками! - Не може бути цього, - відповів приятелеві Вітя Іванов, переможець олімпіади. Чому він так відповів?

7.4 Сума квадратів двох цілих чисел ділиться на 3. Доведіть, що кожне з цих чисел ділиться на 3.

7.5 У країні 15 міст, кожен з'єднаний дорогами не менше, ніж з 7-ма іншими. Доведіть, що з будь-якого міста можна проїхати в будь-який інший: або безпосередньо, або через один проміжний місто.

7.6 У класі 28 чоловік. Кожна дівчинка дружить з чотирма хлопчиками, а кожен хлопчик - з трьома дівчатками. Скільки в класі хлопчиків і скільки дівчаток?

7.7 Доведіть, що серед учнів будь-якого класу знайдуться двоє, які мають однакове число знайомих в цьому класі (якщо, звичайно, в цьому класі не менше двох учнів).

7.8, а) Скільки чисел від 1 до 1000 не містять у своєму записі цифру 3? А скільки містять?

б) Скільки чисел від 1 до 1000 містять у своєму записі цифри 1 і 2?

7.9 Намисто має складатися з п'яти намистин. Скільки таких намист різного виду можна скласти, якщо мається необмежену кількість синіх і зелених намистин?

7.10 Чи можна в таблиці 5 × 5 розставити кілька чисел так, щоб сума чисел в будь-якому стовпці дорівнювала восьми, а в будь-якому рядку - дев'яти?

7.11 Квадрат 8 × 8 складний з доміношек 1 × 2. Доведіть, що якісь дві з них утворюють квадрат 2 × 2.

7.12 Дано 2002 цілих числа. Відомо, що сума будь-яких 23-ох з них позитивна. Доведіть, що сума всіх чисел також позитивна.

7.13 Чи можна з квадрата зі стороною 10 см вирізати кілька кіл, сума діаметрів яких більше 5 м?

7.14 Дві кам'яні сходи однакової висоти 1 м і з однаковим підставою довжини 2 м, покриті доріжками. У перших сходів 7 сходинок, а у другої - 9. Чи вистачить доріжки, покривають першим драбину, для покриття другий?

7.15 * Кубик 3 × 3 × 3 легко розпиляти на 27 одиничних кубиків шістьма розпилами. Чи можна зменшити число розпилів, якщо перекладати розпиляні частини?