Множина цілих чисел

На множині натуральних чисел виконуються операції додавання і множення, але не завжди виконується операція віднімання. Розширюючи множину N так, щоб арифметична операція віднімання завжди виконувалася, ми отримаємо множину цілих чисел Z. Тому Z=N È {0, -1, -2,...} або множина цілих містить цілі від’ємні числа(перед від’ємними числами завжди ставлять знак «мінус», нуль(це число немає знаку) та цілі додатні числа(перед додатніми числами ставлять знак плюс або іноді нічого не ставлять): Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, тобто, множина цілих чисел Z містить множину натуральних чисел, число нуль та числа, які протилежні натуральним(цілі від’ємні числа).

Зауваження. Впровадження нуля та від'ємних цілих чисел здійснено з метою запровадження дії віднімання, оберненої до додавання, так, щоб ре­зультат був завжди визначений. Це не потребує нових аксіом і здій­снено таким чином: множину натуральних чисел можна розширити до декартового добутку самої на себе з подальшою факторизацією – роз­биттям на класи еквівалентності.

Властивості додавання, множення та відношення порядку для множини цілих чисел ті самі, що й для множини натуральних чисел.

Головну роль у всій теорії цілих чисел відіграють наступні властивості чисел(далі ці властивості чисел сформульовані як теореми,  але ми наводимо їх без доведення.

Т е о р е м а  про  ділення  з  остачею. Для будь-якого цілого а і b > 0 існує і  притому  єдині цілі q та  r, такі, що

а = bq + r,                  де  0 £  r < | b |.

Зауваження: Ціле  число а називають ділене, ціле число b називають дільником, ціле число q – неповною часткою(результат дії ділення), число r називають остачею від ділення а: b.

Зауваження: Якщо ціле число  а ділиться на ціле число  b націло тоді внаслідок ділення отримуємо ціле число, тбто, повну частку, або   остача від ділення а:b  рівна нулю). Тому із умови подільності а:b  націло слідує, що існує деяке ціле число  z  таке,  що  а= z∙b.  

Приклад: Дію ділення 7:2=3(ост. 1) можна записати у такому вигляді:

7 = 2∙3 + 1,

де число 7 називають ділене, число 2 називають дільником числа 7, число 3 – неповною часткою(результат дії ділення), число 1 називають остачею від ділення 7: 2.

Теорема. Сума двох цілих чисел  q та r є цілим числом.

Зауваження. На  множині цілих чисел завжди виконується дія додавання та віднімання.

Правило 1. Щоб знайти суму цілих чисел однакових знаків, то спочатку додають  модулі  цих чисел (це числа без знаку), а потім перед сумою ставлять знак будь-якого доданку.

Приклад:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 = -55

або

+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=+55=55.

Правило 2. Щоб знайти суму двох цілих чисел протилежних знаків, то спочатку віднімають  модулі   цих чисел, від більшого віднімають менше, а потім перед результатом  ставлять знак більшого за модулем числа.

Приклад:

+ 3 -5 = -2,

 -7 + 9 = +2 = 2,

+20 -9 = + 11 = 11.

Теорема. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

Приклад. (-1,5) + (+1,5) = 0.

Теорема. Якщо один з двох доданків дорівнює нулю, то сума до­рівнює другому доданку: а + 0 = 0 + а = а.

Переставний і сполучний закони додавання справджуються для всіх цілих чисел.

Зауваження: Додавати кілька чисел з різними знаками можна послі­довно: спочатку знайти суму двох перших доданків, потім до цієї суми додати третій доданок і т. д. Але можна окремо додати всі додатні і всі від'ємні числа, а потім дві здобуті суми додати за правилом 2 додавання чисел з різними зна­ками.

Теорема. Якщо  два довільні  цілих числа  d та s,  то існує єдине ціле число х, яке задовольняє рівняння

d +  х = s.

  Зауваження. Ціле число х знаходять за допомогою дії віднімання і записують  х = s – d.  Математики 

число  d називають відомим  доданком,

число х називають невідомим доданком,

число s називають сумою(результат дії додавання).

Приклад: Для двох цілих чисел -10 та -8 завжди існує єдине ціле  х:

-8 + х = -10,

 х = -10 – (-8),

х = -10 + 8,

х = -2.

Зауваження: Наприклад, нехай цілі числа n і m еквівалентні, якщо їхня різ­ниця – парне число.  Легко пересвідчитися, що вказане відношення є відношенням еквівалентності на множині цілих чисел, а множини парних і непарних чисел – класи еквівалентності. Тобто всі цілі числа можна розділити на дві множини:

·       множина парних чисел(2к); 

·       множина непарних чисел(2к+1).

Теорема. Добуток двох цілих чисел  q та r є цілим числом.

Зауваження. На  множині цілих чисел завжди виконується дія множення. Добуток цілих чисел з однаковими знаками є додатнім, а добуток цілих чисел з різними знаками є число від’ємне. Добуток  будь-якого цілого числа і нуля дорівнює нулю. (Аби мати однозначність, математики домовилися, що число нуль не може бути дільником довільного цілого числа, тобто ціле число не можна поділити на нуль)

Зауваження. Множина цілих чисел серед математиків ще отримала назву кільце, тому що у цій множині завжди виконуються три арифметичні дії: додавання, віднімання, множення.

     Щоб визначити добуток двох цілих чисел, треба перемножити їх модулі і перед результатом поставити знак плюс, якщо обидва множники мають однакові знаки, чи мінус, якщо знаки множників різні. Коли ж хоч один множ­ник дорівнює нулеві, то й добуток дорівнює нулеві.

Приклади. 

(-3) • (-5) = 15; 

 (-3) • (+2)  =  -6;

 (-3,7) ∙0 = 0.

 Щоб знайти добуток кількох чисел з різними знаками, треба перемножити їх модулі і перед результатом поста­вити знак плюс, якщо кількість від'ємних множників парна, чи мінус, якщо кількість від'ємних множників непарна.

Приклад.

 (-3) ∙ (+2) ∙(-5) ∙ (-6) = -180.

Переставний, сполучний і розподільний закони мно­ження  справджуються для всіх цілих чисел.

a∙b = b∙a, - переставний закон множення.

(a∙b)∙c = (c∙b)∙a – сполучний закон множення.

(a±b)∙c = c∙a±c∙b – розподільний закон множення.

Степінь цілого числа з натуральним показни­ком - це добуток кількох однакових цілих множ­ників:

                                       а∙а∙….∙а = аⁿ.

Зауваження. Будь-який парний степінь від'ємного числа додатний, а   непарний – від'ємний. 

Зауваження. Другий степінь числа називають квадратом числа. Вираз (-5)² – читають: «Мінус п’ять у квадраті».

Третій степінь числа називають кубом числа. Вираз (-5)³ – читають: «Мінус п’ять у кубі».

Приклади.

(-5)⁰ = 1;

(-5)¹ = -5;

(-5)²= (-5)∙(-5) = 25;

(-5)³ = (-5) ∙(-5)∙(-5)  = -125;

(-5)⁴= (-5)∙ (-5) ∙(-5)∙(-5)  = 625;

Степінь ненульового числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Приклади.

(-5)⁰ = 1;

(+5)⁰ = 1;

(106)⁰ = 1;

Зауваження. Не можна підносити нуль до нульового степеня.

0⁰ – не визначений.

Степінь цілого числа з від’ємним  цілим показником - це  звичайний дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику добуток кількох однакових цілих множ­ників.

а^-n = 1/(a∙a∙….∙a) = 1/aⁿ.

Приклади:

(-5)^-1 = 1/5;

(-5)^-2= 1/(-5)∙(-5) = 1/25;

(-5)^-3 = 1/ (-5) ∙(-5)∙(-5)  = - 1/125;

(-5)^-4= 1/(-5)∙ (-5) ∙(-5)∙(-5)  = 1/625.

Зауваження. Не можна підносити нуль до від’ємного показника.

0^-6 – не визначений.

Властивості степенів з цілим показником:

1.    aⁿ ∙bⁿ = (a∙b)ⁿ;

2.    (aⁿ)ⁿ = a^n∙n;

3.    (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^n∙m;

4.    aⁿ :bⁿ = (a:b)ⁿ;

5.    aⁿ /a^m = a^n-m;

6.    aⁿ ∙a^m = a^n+m;

7.    (a/b)ⁿ = (b/a)^-n;

8.    1ⁿ  = (-1)^2k = 1;

9.    - 1ⁿ  = (-1)^2k-1 = -1;

10.                      a^-m = (1/a)^m.