Частка цілих чисел

Частка від ділення двох цілих чисел з однако­вими знаками дорівнює частці їх модулів.

Частка від ді­лення двох цілих чисел з різними знаками дорівнює частці їх модулів, узятій із знаком мінус.

Приклади.

(–105) : (–15) = 7;

(+648):(–8)  = –81.

Теорема. Довільне ціле число, окрім 0, ділиться на себе і на 1. 

Теорема. Нуль ділиться на будь-яке ціле число, окрім 0.

Зауваження: рівняння  0∙b = 0 має безліч розв’язків на множині цілих чисел.  Проте слід запам’ятати:    0∙0 = 0,     0:b = 0.

Історична довідка

• Для полегшення роботи обчислювача в Стародавньому Вавилоні були винайдені різні таблиці, в тому числі і таблиці множення. В деяких країнах стародавнього світу застосовувався перший лічильний пристрій-абак.
• В середньовічній Європі повсюдно використовувались римські цифри, але, оскільки “Працювати” з ними важко безпосередньо обчислення вироблялись знову на абаку.
• В 12 ст. була переведена на  латинську мову уже згадана книга  аль-Хорезмі, дякуючи чому з нею познайомилися європейці. З цього часу в Європі  почався постійний перехід на арабські цифри і нову систему числення. Але шанувальники абака не поспішали змінювати старі традиції в обчисленнях. Нове укорінювалося з великими труднощами. Боротьба між абацистами та алгоритміками закінчилось тільки в 17 столітті перемогою нової нумерації.
• Сучасні знаки арифметичних дій з’явились в 15 -17 ст.: „+”, „-” зустрічаються у рукописах 15 століття.; знак множення  у вигляді хрестика увів англійський математик У. Оутред (1574 – 1660), а знак множення у вигляді крапки – німецький математик Г. Лейбніц (1646 - 1716). Він також застосовував „:” для позначення ділення.

Теорема. Якщо ціле число  а ділиться на ціле число  b націло (внаслідок ділення отримуємо ціле число, тобто, повну частку, або   остача від ділення а:b  рівна нулю) і  ціле число  b ділиться на ціле число    c  націло, тоді ціле число  а ділиться на ціле число  с  націло.

Доведення: Із умови подільності а:b  націло слідує, що існує деяке ціле число  z  таке,  що

а= z∙b.   (*).

Із умови подільності b:с  націло слідує, що існує деяке ціле число  у  таке,  що

b= у ∙с.  (**).

Тоді отримаємо із рівності (*) та (**)

                               а= z∙b = z∙ у ∙с = (z∙ у )∙ с.

 Таким чином,  ціле число  а ділиться на ціле число  с  націло, тобто повна частка такого ділення  дорівнює цілому числу (z∙ у).

Теорема. Якщо кожний доданок суми або різниці с± а цілих чисел ділиться на с, то сума і різниця  поділиться на с.

Доведення: Із умови подільності а:b  націло слідує, що існує деяке ціле число  z  таке,  що

а= z∙b.   (*).

Із умови подільності b:с  націло слідує, що існує деяке ціле число  у  таке,  що

с= у ∙ b.  (**).

Тоді отримаємо із рівності (*) та (**)

                              с± а= z∙b ±∙ у ∙ b = (z± у )∙ b.

 Таким чином  ціле число  с± а ділиться на ціле число  b  націло, тобто повна частка такого ділення  дорівнює цілому числу (z±у).

Теорема. Якщо а ділиться на b  націло або с ділиться на b націло, то добуток а∙с  поділиться на b націло.

Таким чином, на множині цілих  справедливі такі властивості:

аb(а ± b)=2к

n(n+1)= 2к, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;

(n+2)(n+1)n = 3к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло;

(n-1)n(n+1) = 6к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-1)n(n+1)(n+2) = 24к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5к=120к, тобто, добуток п’яти послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло;

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Задача. Якщо числа  p  та q – прості, більші 3, то р² – q² ділиться на 24 без остачі. Довести.

Доведення.

 р² – q² = р² – 1 – q² + 1=  (р² – 1) – (q² – 1) = (р – 1)(р + 1) – (q  – 1) (q + 1)

Числа р – 1 та р + 1 являються парними. Якщо одне з них ділиться на 2, то друге щонайменше ділитиметься на 4. Отже, добуток (р – 1)(р + 1) ділиться без остачі на 8. Числа р – 1 та р + 1 парні і послідовні, тому одне з них ділиться на 3. Отже,

добуток (р – 1)(р + 1) ділиться на 3. Таким чином, добуток (р – 1)(р + 1) ділиться на 24. Аналогічно можна довести, що добуток (q  – 1) (q + 1) ділиться на 24 без остачі. Різниця добутків (р – 1)(р + 1) – (q  – 1) (q + 1) ділиться на 24 націло, тобто р² – q² ділиться на 24 без остачі.