ПОНЯТТЯ ПРО ЧИСЛОВІ МНОЖИНИ

1. Множина натуральних чисел

Визначення: Множина називається числовою, якщо її елементами являються числа.

Наведемо приклади декількох відомих числових множин:

N - множина натуральних чисел; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…

Z - множина цілих чисел; …, -3,-2, -1, 0, 1,2,3,4,5,6,7,…

Q - множина раціональних чисел; (звичайні дроби)

В основі розширення числових множин лежать такі принципи: якщо множина А розширюється до множини В, то:

1) А Ì B;

2) операції і відношення між елементами, які виконуються в множині  А, зберігаються і для элементів множини В;

3) у множині В виконуються операції,  які не виконуються або частково виконуються  у множині А;

4) множина В являється мінімальним розширенням множина А, яка володіє властивостями  1) – 3).

Множина натуральних чисел N строго визначається за допомогою аксіом Пеано.

Довідка: Джузеппе Пеано (1858-1932) — італійський математик, якому, крім фор­мулювання аксіом натуральних чисел, належать загальна теорема про існуван­ня розв'язку диференціального рівняння, результати з обґрунтування геометрії. Вперше побудував неперервну криву, що заповнює квадрат.

1. Існує натуральне число 1, яке не є наступним ні за яким натуральним числом (натуральний ряд починається з 1).

2. Кожне натуральне число следує тільки за одним і тілько одним натуральним числом (у натуральному ряді немає повторень).

3. За кожним натуральним числом слідує одне і тільки одне натуральне число (натуральный ряд нескінчений).

4. Аксіома індукції. Нехай М Ì N. Якщо:

1)  1 Î М; (початковий елемент належить підмножині натуральних чисел)

2) Для будь-якого елемента а Î М множині М належить і наступний за а элемент а¹, тоді множина М співпадає з множиною натуральних чисел.

Таким чином, множина  N = { 1, 2, 3, 4,...}.

2. Задачі на знаходження цифр натурального числа

1.     Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо це число до­дати до числа, записаного тими самими цифрами, але в зворот­ному порядку, то буде 55. Знайдіть двоцифрове число.

Відповідь: 23.

2.     Якщо до задуманого двоцифрового числа дописати справа і зліва цифру 4, то утворене  чотирицифрове число буде в 54 рази більше від задуманого. Яке число задумали?

Відповідь: 91.

3.     Перша зліва цифра шестицифрового числа дорівнює 1. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то число збільшиться у 3 рази. Знайдіть шестицифрове число.

Відповідь: 142 857.

4.     Сума цифр двоцифрового числа 15. Якщо це число помножити на 7 і від добутку відняти двоцифрове число, записане тими са­мими цифрами, що і початкове, але в зворотному порядку, тоді­
станемо 387. Знайдіть двоцифрове число.

Відповідь: 69.

5.     Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати це двоцифрове число, то утворене чотирицифрове число буде більше за почат­кове у 77 раз. Знайдіть це число.

Відповідь: 15.

6.     Цифра десятків задуманого числа на 4 менша від цифри одиниць. Якщо між цифрами цього числа вписати двоцифрове число, мен­ше від задуманого на 1, то утворене чотирицифрове число буде в 91 раз більше від задуманого. Яке число задумано?

Відповідь: 37.

7.     Якщо деяке двоцифрове число помножити на суму його цифр, то в результаті буде 418. Якщо це двоцифрове число поділити на суму його цифр, то в частці буде 3 і в остачі 5. Знайдіть це  число.

Відповідь: 38.

8.     Хлопчик   купив 44 марки   вартістю  4 коп.,  5 коп.   і  10 коп. за штуку, заплативши за марки кожного виду  однакові суми грошей. Скільки марок кожного виду купив хлопчик?

Відповідь: 20 марок по 4 коп., 16 марок по 5 коп. і 8 марок по 10 коп.

9.     Для нумерації книжки використали 2893 цифри. Скільки сторінок має книжка?

Відповідь: 1000.

10.               Чи вірно, що різниця двох послідовних натуральних чисел не ділиться на 2?

Відповідь: так вірно.

11.               Чи вірно, шо сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6?

Відповідь: так вірно.

12.               Чи вірно, що сума будь-яких шести послідовних цілих чисел   ділиться на 5?

Відповідь: не завжди вірно.

13.               Чи вірно, що сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на 8.

Відповідь: не  вірно.

14.               Трицифрове число має х сотень, у десятків і z оди­ниць. Знайдіть різницю між цим числом і сумою чисел х,у, z.

Відповідь: 99х + 9у.