Властивості НСК(m, n) та НСД(а, b)

Комплексне завдання 

на дослідження властивостей  

НСК(m, n) та НСД(а, b).

Розподілити  20 тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Усі натуральні числа, які діляться на 30 можна подати у вигляді 2∙15n або 2∙3∙5n, де  n  − натуральне число.
2. Найменше натуральне число т, яке ділиться на кожне з чисел а і b без остачі, тобто найменше спільне кратне цих чисел (НСК(а, b)), завжди можна знайти таким чином: розкласти кожне число на прості множники, потім, взявши розклад одного із них, помножити його на відсутні прості множники,  які зустрічаються в розкладі другого числа.
3. Найбільше натуральне число т, на  яке ділиться на кожне з чисел а і b без остачі, тобто найбільший спільний дільник цих чисел (НСД(а, b)), завжди можна знайти таким чином: розкласти кожне число на прості множники, потім, виписати з двох  розкладів спільні множники, до речі,  кожний зі спільних простих множників треба взяти з найменшим показником, який зустрічається в обох розкладах, і помножити.
4.  Добуток чисел а і b дорівнює добуткові їх найбільшого спільного дільника на найменше спільне кратне аb= НСК(а, b)∙НСД(а, b)
5.  Найменше спільне кратне двох чисел дорівнює 3024, а їх найбільший спільний дільник 4. Друге число має лише три дільники, якщо перше дорівнює 28.
6.  Найменше спільне кратне трьох чисел дорівнює 5544.  Існує декілька третіх чисел, якщо перші два дорівнюють 72 і 168.
7. Два перші числа дорівнюють 165 і 156. Множину третіх чисел складають тільки непарні числа, якщо найменше спільне кратне всіх трьох чисел дорівнює 25740.
8. Найменше натуральне число т, яке ділиться на кожне з чисел а і b, тобто НСК(а, b) ділиться на їхній найбільший спільний дільник, тобто ділиться на НСД(а, b).
9. Якщо т ділиться на кожне з двох чисел а і b, то т ділиться і на їх найменше спільне кратне, тобто НСК(а, b).
10. Найменше спільне кратне трьох чисел n-1, n, n+1 (де n — натуральне число) це добуток цих чисел.
11.  Частки від ділення найменшого спільного кратного  на дані числа є взаємно прості.
12.  Якщо число 3х+2у ділиться на 19, де х і у натуральні числа, то 8х-у не ділиться на 19.
13.  Найменше спільне кратне двох чисел 5040, а їх найбільший  спільний дільник 48. Множину таких пар чисел складають лише парні числа.
14. Найменше спільне кратне двох чисел 462, а їх найбільший спільний дільник 21. Множину таких пар чисел складають лише непарні числа.
15. Всього існує дві  пари чисел, для яких  добуток дорівнює 840, а їх найбільший спільний дільник дорівнює 2.
16. Сума двох чисел 168, а їх найбільший спільний дільник 24. Множину таких пар чисел складають лише числа різної парності, тобто одне з них парне число, а друге – непарне число.
17. Сума двох чисел 667, а їх найбільший спільний дільник 29. Множину таких пар чисел складають лише числа різної парності, тобто одне з них парне число, а друге – непарне число.
18. З космодрому одночасно запустили три супутники Землі. Перший має період обертання 1 год. 20 хв., другий — 1 год. 45 хв., а третій — 2 год. 20 хв. Тоді через 28 год − це найближчий час, коли вони знову будуть всі три разом над космодромом?
19. Три автобуси відправляються з автостанції о 7 год. ранку в трьох напрямах і повертаються: перший через 2 год. 15 хв. і знову відправляється через 15 хв.; другий — через 1  год. 45 хв. і знову відправляється через 15 хв.; третій — через 1  год. 30 хв. і знову відправляється через 10 хв. Тоді 12.00 −  це найближчий час, коли вони знову одночасно виїдуть з автостанції?
20. У деякий час планети Венера і Меркурій займають певне положення на небі відносно зір. Через 19800 діб обидві планети будуть знову в тому ж положенні відносно нерухомих зір, якщо Меркурій обертається навколо Сонця за 88 діб, а Венера — за 225 діб?

Зауваження. 1) Якщо кожне з чисел а і b ділиться націло на число m, то і сума а + b також ділиться націло на число m.

Наприклад. Кожне з чисел 21 і 36 ділиться націло на 3. Сума цих чи­сел 21 + 36 також ділиться націло на 3.

2) Якщо число n ділиться націло на число k, а число m не ділиться націло на число k, то сума n + m також не ді­литься націло на число k.

Наприклад. Число 35 ділиться націло на число 7, а число 17 на число 7 не ділиться націло. Сума 35 + 17 націло на 7 також не ділиться.

44. Задачі  підвищеного рівня

1. Шестицифрове число закінчується цифрою 2. Якщо її переставити з останнього місця на перше, то число зменшиться втроє. Знайти це число.

Розв’язання. Запишемо рівняння для знаходження шуканого числа. Позначимо його без останньої цифри 2 через , тоді   . Шукане число 857142.

Відповідь: 857142.

2. Сума двох натуральних чисел дорівнює 221, їх найменше спільне кратне – 612. Знайти всі пари таких чисел.

Розв’язання.      . Оскільки , то одне з цих чисел непарне, інше парне. Оскільки 221 – не кратне 3, то принаймні одне з цих чисел некратне 3.

Тому можливі такі  варіанти:

1. Дільники 2 містяться в одному з доданків, а 3 – в іншому. Тому маємо такі числа: , ;

2. Дільники 2 і 3 містяться в одному числі: , або . Другий приклад очевидно умови стосовно суми не задовольняє. 3. Третій приклад також не задовольняє умови, оскільки в такому випадку   і їх сума менша за 221.

Відповідь: 68, 153.

Проблемне запитання:  Чи можна будь-яке натуральне, число більше 4, записати як суму двох простих чисел?

45.  Задачі для самостійного осмислення учнями:

1.     Якщо розділити число на 12, отримаємо різницю семи та цього числа. Яке це число?

2.    Чи існують двоцифрові числа, які дорівняють різниці квадра­тів своїх цифр?

3.    Доведіть, що добуток цифр багатоцифрового числа менший від самого числа.

4.    Якщо від задуманого тризначного числа відняти 9, то одержане число поділиться на 9; якщо від того ж задуманого числа відняти 10, то результат поділиться на 10, а якщо відняти 11, то резуль­тат поділиться на 11. Знайдіть задумане число.

5.    Написали підряд два рази трицифрове число. Чому утворене число обов’язково поділиться на 7, на 11, 13?

Відповідь: 1001∙аbc = 7∙11∙13∙abc.

6.    Від двоцифрового числа відняли суму його цифр, одержали число, але записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Яке початкове число?

 Відповідь: 54.

7.      У двоцифровому числі число десятків у 2 рази менше від числа одиниць. Якщо від цього числа відняти суму його цифр, то дістанемо 18. знайдіть це число.

 Відповідь: 24.

8.     Двоцифрове число в сумі з числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть всі такі двоцифрові числа.

 Відповідь: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.

9.     Якщо першу цифру трицифрового числа збільшити на  n, а другу і третю цифри зменшити на n, то одержане число  буде в n  разів більше від шуканого. Знайдіть це число.

 Відповідь: 178.

10.                      Цифри трицифрового числа записали в зворотному порядку і від більшого відняли менше. Доведіть, що різниця цих чисел ділиться на 9.

11.                      Доведіть, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 9. Скільки можна скласти ланцюжків, маючи два блакитних кільця і три жовтих кільця, якщо кожний ланцюжок може містити тільки 5 кілець? Відповідь 10.

12.                        На фермі 1000 голів тварин(кролів та кур). У них 3150 лап. Кого більше на фермі чотирилапих чи дволапих тварин на фермі.  Відповідь: 575 кролів та 425 кур.

13.                      Третина п’ятої частини деякого числа менша від третьої частини цього числа на 60. Знайти це число.

Відповідь: 225.

 Задачі на дослідження та осмислення

  властивостей натуральних чисел

1. Чому дорівнює найменше спільне кратне  трьох послідовних простих чисел? Відповідь: добутку  цих чисел.

2. Чи вірно що НСД(n; n + m) = НСД(n; m)? Відповідь: так, вірно завжди.

3. Чи вірно що НСД(n; n - m) = НСД(n; m)? Відповідь: Так, вірно завжди.

4. Відомо, що натуральне число вигляду n + 4m ділиться на 13. Чи  поділиться на 13 натуральне число вигляду 10n + m? Відповідь: Так, завжди поділиться.

5. Відомо, що натуральне число вигляду 3n + 2m ділиться на 17. Чи  поділиться на 17 натуральне число вигляду 10n + m? Так, завжди поділиться.

6. Який найбільший спільний дільник двох чисел 2n + 1 та   2n – 1? Відповідь: 1.

7. Чи можна серед натуральних чисел вигляду  (n+1)(n+2)(n+3)n   знайти числа, які не діляться на 24? Відповідь: Ні.

3. Чи числа вигляду 10000…..0001, де кількість нулів парна, діляться на 11 націло? Відповідь: Так.

4. При яких натуральних n число вигляду  3n-1 являється точним квадратом натурального числа? Відповідь: Ці числа не являються квадратами

5. При яких натуральних n число вигляду  5n-2  та 5n+2    являється точним квадратом натурального числа? Відповідь: Ці числа не являються квадратами.

6. При яких натуральних n число вигляду  7n+3  та 7n-1, 7n-2   являється  точним  квадратом натурального числа?

Комплексне завдання 

на дослідження  

загальних  закономірностей 

в натуральному ряді.

Розподілити  сорок тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Усі прості числа починаючи з 7 можна подати у вигляді 6∙n+1 або 6∙n+5.
2. Сума будь-якої кількості перших непарних чисел натурального ряду рівна квадрату числа доданків.
3. Парне число можна подати, як суму двох простих чисел.
4. Непарне число можна подати, як суму трьох простих чисел.
5. Сума будь-якої кількості послідовних непарних чисел натурального ряду рівна різниці квадратів двох  чисел.
6. Сума перших n+1 натуральних чисел рівна сумі  n наступних натуральних чисел.
7. Сума  n перших парних чисел рівна добутку  n(n+1).
8. Сума  n перших натуральних чисел рівна половині добутку  n(n+1).
9. Сума квадратів  n перших натуральних чисел рівна квадрату деякого натурального числа.
10. Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна двом.
11. Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна трьом.
12. Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна шести.
13. Сума кубів  трьох послідовних натуральних чисел рівна кубу натурального числа.
14. Сума кубів  n(більше двох)  різних натуральних чисел рівна кубу натурального числа.
15. Сума кубів  n послідовних натуральних чисел рівна різниці квадратів натуральних чисел.
16. Будь-яке просте число дорівнює добутку своїх цифр в десятковій системі числення.
17. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму двох його дільників чисел.
18. Якщо число непарне, то його можна записати як суму  парного і непарного дільників числа.
19. Якщо число парне і дорівнює сумі своїх дільників, то воно рівне сумі кубів n перших чисел.
20. Сума кубів  n послідовних парних чисел рівна подвоєному квадрату  числа  n( n+1) .
21. Сума кубів  n послідовних непарних чисел рівна квадрату  числа  n²( 2n²+1) .
22. Сума кубів  n перших натуральних чисел рівна квадрату суми цих чисел.
23. Кожне натуральне число рівне сумі квадратів двох чисел і одного простого числа.
24. Якщо три числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді добуток цих чисел парний.
25. Якщо три послідовні числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  меншого числа рівний  сумі двох інших.
26. Якщо три послідовні числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  середнього числа рівний  подвоєній сумі двох інших.
27. Якщо три взаємно прості числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  меншого числа рівний  сумі двох інших.
28. Якщо три взаємно прості числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді добуток трьох чисел ділиться на 60.
29. Якщо два взаємно прості числа n i m  утворюють три числа n² + m² , 2mn, n² - m² , тоді  квадрат  більшого числа рівний  сумі квадратів двох інших.
30. Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  квадрат  більшого числа рівний  сумі квадратів двох інших.
31. Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  квадрат  середнього числа рівний подвоєній сумі квадратів двох інших.
32. Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  куб  найбільшого числа рівний сумі квадратів двох інших.
33. Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n/2)²-1 , (n/2)²+1, тоді  куб  найбільшого числа рівний сумі квадратів деяких двох чисел.
34. Якщо чотири числа  утворюють рівність n³ + m³ + k³= p³, тоді ці натуральні числа послідовні.
35. Якщо число виду 4∙к+1, то його можна подати, як  n² + m².
36. Якщо складене число розкладається на прості числа виду 4∙к+1, то його можна подати, як  n² + m².
37. Якщо число має вид 4∙к+3, то його не можна подати, як  n².
38. Якщо число р — просте, тоді число виду а^р - а ділиться на р.
39. Будь-який квадрат натурального числа  n  можна подати як суму двох доданків, де перший доданок — це сума  n перших натуральних чисел, а другий — це сума  n-1 перших натуральний чисел.
40. Будь-який квадрат непарного числа  n  можна подати у вигляді 4∙к+1.