П'ять аксіом Пеано натуральних чисел

 Іноді непорожню множину N називають множиною чи рядом натуральних чисел, а її елементи – натуральними числа­ми, якщо для неї справджуються такі п 'ять аксіом Пеано.

Аксіома 1. Множина N містить елемент, який називають оди­ницею і позначають 1. (Ця аксіома задає найменший елемент числової множини).

Аксіома 2. Для довільного елемента n з N існує елемент n⁺ з М, який називають наступним за n. (Ця аксіома вказує, що найбільшого натурального числа не існує. Наступне за 1 натуральне число назвемо "два" і позначимо 2, наступне за 2 натуральне число назвемо "три" і позначимо 3 і т. ін. Дана аксіома вказує на очевидний зв'язок між множиною натуральних чисел та лічбою.)

Аксіома 3. Одиниця не є наступним елементом жодного з еле­ментів N.

Аксіома 4. Якщо для довільних двох елементів N відповідні їм на­ступні елементи збігаються, то самі ці елементи рівні.

Аксіома 5. Якщо множина М містить одиницю ряду натураль­них чисел і для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел N –підмножина М. (Зміст 5-ої аксіоми Пеано полягає у тому, що всі натуральні числа можна отримати з одиниці переходом до наступного натурального числа.)

Додавання та множення на множині натуральних чисел.

Означення. На множині натуральних чисел означимо дію додавання, що парі чисел (доданкам) ставить у відповідність тре­тє число (суму) за такими правилами:

 1) якщо до натурального числа m додати одиницю, то отримаємо наступне натуральне число:  m+1= m⁺;

2) Для двох натуральних чисел та одиниці виконується рівність: m+(k+1) =  (m+k)+1.

З даного означення та аксіом Пеано випливають такі власти­вості додавання:

1)асоціативність (сполучний закон): (n + к) + m = n + (к +m). При
цьому сума кількох доданків не залежить від порядку знахо­дження сум двох доданків;

2)комутативність (переставний закон): m + к = к + m. При цьому
сума двох доданків не залежить від того, що до чого додаємо;

3)якщо рівні суми мають рівні перші доданки, то й другі доданки
в них також рівні: n + к = n + m  =>  к = m.

Означення. На множині натуральних чисел означимо дію мно­ження (∙), що парі чисел (співмножникам) ставить у відповід­ність третє число (добуток) за такими правилами:

1) m∙1= m;   

  2) m∙(к + 1) = m∙к+m.

З поданого означення та аксіом Пеано випливають такі власти­вості множення:

1)(m ∙ к)∙n = m ∙ (к∙n) – асоціативність(cполучний закон множення);

2)m∙к = к∙m – комутативність(переставний закон множення);

3)m∙(к + n) = m∙к + m∙n – дистрибутивність (розподільний закон);

4)m∙к = m∙n => к = n – якщо рівні добутки мають рівні перші
множники, то й другі співмножники в них також рівні.

Замість m∙к пишуть скорочено: mк. Такої форми запису ми бу­демо дотримуватися й надалі. Інколи, найчастіше при перенесенні формул у новий рядок, використовують символ  х  замість cимволу ∙.

Насам­перед у числовому виразі виконують дії у дужках, а потім множення – і в останню чергу додавання.

Степінь натурального числа а з натуральним показни­ком n – це добуток n однакових натуральних множ­ників a:

а∙а∙….∙а = аⁿ.

Факторіал натурального числа  m – це добуток перших послідовних натуральних чисел від 1 до  m включно:

1∙2∙3∙…∙(m–1)∙m = m!       0!=1,  1!=1,  2!=2,  3!=6, ...

Зауваження. Другий степінь натурального числа називають квадратом числа. Вираз 5² – читають: «п’ять у квадраті».

Третій степінь натурального числа називають кубом числа. Вираз 5³ – читають: «п’ять у кубі».

Приклади.

 5¹ = 5;

5²= 5∙5 = 25;

5³ = 5 ∙5∙5  = 125;

5⁴= 5∙5 ∙5∙5 = 625.

5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120 (вираз  5!  читають: «п’ять факторіал»).

 Комплексне завдання 

на дослідження натурального числа,

 відповідно його властивостям.

Розподілити  двадцять  тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Будь-яке  натуральне число можна записати у вигляді  або 2m - 1,  або 2m,  де  m  − натуральне число.
2. Будь-яке  натуральне число не можна записати у вигляді  або 5m,  або 5m - 1, або 5m - 2, або  5m -3,  або 5m - 4, де  m − натуральне число.
3. Будь-яке  натуральне число можна записати у вигляді  або 3m,  або 3m + 1 або 3m + 2,  де  m − натуральне число.
4. Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду   або 9m,  або 9m + 1, або 9m + 2, або  9m + 3,  або 9m + 4,  9m + 5, або 9m + 6, або  9m + 7,  або 9m + 8,   не можливо  знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 5m,  або 5m + 1, або 5m + 2, або  5m + 3,  або 5m + 4, де  m − натуральне число.
5.  Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m -1, або 4m - 2, або  4m -3   не можливо  знайти числа,  які записуються  у вигляді  7m -1, або 7m-2, де  m − натуральне число.
6. Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m+1, або 4m+2, або  4m+3  можна  знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 3m-1, або 3m-2, де  m − натуральне число.
7. Серед будь-яких  натуральних чисел  вигляду 3m  або  3m-1, або 3m-2   можна  знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 2m-1, або 2m, де  m − натуральне число.
8. Якщо число парне, тоді воно записується  у вигляді  або 9m -1 ,  або  9m - 3, або  9m - 5,  або  9m - 7, або 9m, де  m − натуральне число.
9. Якщо натуральне число ділиться на 3, тоді воно записується  у вигляді  або 3m - 1, або  3m - 2,   де  m − натуральне число.
10. Якщо натуральне число не ділиться на 2 і на 3, тоді воно записується  у вигляді  або  6m -1, або  6m - 2, або 6m - 5, або  6m - 4,  або 6m - 3, де  m − натуральне число.
11. Якщо натуральне число ділиться на 4 і на 3, тоді воно записується  у вигляді  або  6m - 1, або  6m - 2, або 6m - 5, або  6m - 4,  або 6m - 3, де  m − натуральне число.
12. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  6m-1,   6m-2,  6m-3,   тоді  три наступні натуральні числа  записуються у такому порядку 6m,  6m+1,  6m+2,  де  m − натуральне число.
13. Якщо  натуральні числа записується  у  вигляді  7m+1,  7m+2,  7m+3,    тоді  три попередні натуральні числа  записуються у такому порядку 7m-2,  7m-1,  7m,  де  m − натуральне число.
14. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  3m+1,  4m+2,  тоді   їхні попередні натуральні числа  записуються  відповідно непарні, де  m − натуральне число.
15. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  4m+1,  6m+3,  тоді   їхні наступні натуральні числа  записуються  відповідно парні, де  m − натуральне число.
16. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  6m+12,  4m+8,  тоді   ці натуральні числа  мають  спільний дільник  2, де  m − натуральне число.
17. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  8m+16,  24m+8,  тоді   ці натуральні числа  мають  спільний дільник  8, де  m − натуральне число.
18. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  2m +1,  2m + 2,  де  m − натуральне число,  тоді   сума цих натуральних чисел   непарна. 
19. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  2m,  2m - 1,  де  m − натуральне число,  тоді   різниця цих натуральних чисел   парна. 
20. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  2m + 3,  2m + 5,  де  m − натуральне число,  тоді   добуток цих натуральних  чисел   парний.
21. Одиниця не є наступним елементом жодного з чисел натурального ряду.
22. Існує  натуральне число між двома числами 2m  та  2m - 1,  де  m  − натуральне число.
23. Якщо натуральні числа записується  у вигляді 2m+1,  4m+2,  тоді   вони  ніколи не можуть бути рівними,  де  m − натуральне число.
24. Для довільного натурального числа існує наступне натуральне число.
25. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  8m+8,  4m+4,  тоді   їхні попередні  числа  є непарними і  записуються  відповідно 8m - 7,  4m+3, де  m − натуральне число.