РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ РІВНЯНЬ

Питання про місце текстових задач і способи їх розв'я­зування завжди дуже актуальне й викликає багато дискусій.

Якщо ви уже маєте певний до­свід розв'язування задач різними способами:

 арифметичним (складанням плану та обчисленнями після кожного запи­тання),

складанням виразів і, частково, за допомогою рів­нянь,

тоді пропонуємо вам ці вміння й навички розвивати  і зміц­нювати, причому головна увага спрямовуйте на оволо­діння способом рівнянь. На кінець навчання від вас вимагається – уміння поєднувати елементи різних способів, наприклад, частину задачі розв'язати складанням рівняння, а потім виконати потрібні обчислення складанням число­вого виразу чи за окремими запитаннями.

Послідовність розгляду цих задач така. Спочатку  пропонуємо вам розв'язати кілька задач, які зводяться до рівнянь лінійного виду, причому залежності, за якими складають рівняння, подано в явній формі, наприклад: Спробуйте знайти відповідь.

1.     При якому значенні змінної х вираз 4х більший від виразу 2х на 912?(4х-2х = 912, 2х = 912,  х=912:2, х= 456).

2.     При якому значенні змінної а сума виразів 8а і 3а дорівнює 4466? (8а +3а = 4466, 11а = 4466, а = 4466:11, а = 406).

3.     Запишіть речення у вигляді рівності й з'ясуйте, при яких значеннях змінної а ця рівність правильна: число 380 у 19 раз більше за вираз 10а. (380 = 19∙10а, а = 2).

Наступним кроком є розгляд задач, в умовах яких ві­дображено певні життєві ситуації, але рівняння зберігають попередній характер.

Ефективність застосування рівнянь до розв'язування задач значною мірою залежить від уміння розв'язу­вати задачі на складання виразів із змінною.

Цей спосіб вам буде легко реалізувати, якщо ви вже  розумієте поняття про буквений вираз або вираз із змінною або про властивості рівнянь. Наше завдання полягає в тому, щоб частим звертанням до виразів із змінною продовжити формування ваших навичок складання за різноманітними умовами  відповідного виду рівнянь.

Наприклад, для розв'язування задач на визначення двох або більше чисел за їх сумою (різницею) і кратним відно­шенням, а також за сумою і різницевим відношенням важливе значення має вміння розв'язувати задачі такого змісту:

1) Довжина однієї сторони трикутника а м, довжин другої – на 5 см більша, а третьої – у 2 рази більша від першої. Чому дорівнює периметр трикутника?(Р = а+(а+5)+2а = 3а+5 см).

2) Одна ланка дітей зібрала х кг металолому, друга на 19 кг більше, ніж перша, а третя –  на 8 кг більше, ніж друга. Скільки кілограмів металолому зібрали всі три ланки разом?

(m = х+(х+19)+(х+19+8) =  3х+46 кг).

3) Турист проїхав теплоходом х км, літаком пролетів у 3 рази більшу відстань, ніж теплоходом, а поїздом проїхав на 120 км менше, ніж пролетів літаком. Визначте довжину всього шляху туриста. ( S = х + 3х + (3х-120) = 7х -120 км ).

Наприклад,  ви вже маєте досвід роз­в'язування задач на рух переважно арифметичним спосо­бом, проте ви повинні оволодіти і загальним способом їх розв'язування. Тут особливо потрібні цілеспрямовані підготовчі вправи.

Щодо задач на рух в одному напрямі, то відповідні під­готовчі вправи мають допомогти вам усвідомити ряд ще невідомих вам залежностей.

Дуже важливо, розглядаючи групи споріднених за зміс­том задач, варіювати їх умови. Проілюструємо цю вимогу на прикладі групи задач на знаходження чисел за їх сумою і різницевим та кратним відношенням.

Важливими моментами в розв'язуванні таких задач є усвідомлення учнями того, що коли одна величина більша від другої на якесь число, то друга – менша від першої на це саме число (говорячи «число», ми маємо на увазі ре­зультат вимірювання цих величин у відповідних одиницях). Аналогічні залежності маємо для випадку кратного порів­няння величин.

1)  Сума двох чисел дорівнює 20,  а різниця 4. Чому дорівнюють добуток та частки цих чисел? ( х + (х+4) = 20, 2х+4 = 20, х = 8 – це перше число, 8+4=12, тоді добуток 8∙12 = 96, частки – 1,5 та 2/3).

2) Різниця двох чисел дорівнює 10, а частка цих чисел 2. Чому дорівнюють сума та добуток цих чисел? (2х - х = 10, х = 10 – це перше число, тоді друге число 2∙10=20,  сума – 30, добуток – 200)

3) Добуток двох натуральних чисел 12, а частка цих чисел 3. Чому дорівнюють різниця та сума цих чисел?

До речі, задачі на рух теж розв'язуються за допомогою рів­нянь.

Наприклад:

 1)Велосипедист їде з швидкістю х км за годину. Скіль­ки кілометрів він проїде за 2 год? за 3 год? (v = 2х км, v = 3х км).

2)Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 7 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 2 год? (S = b+b+7=2b+7 км, а через 2 години S = 4b+14  км).

3) З двох пунктів одночасно назустріч один одному ви­їхали два мотоциклісти і зустрілися через 3 год. Визначте відстань між пунктами, якщо один мотоцикліст їхав з швид­кістю у км за годину, а другий — з швидкістю, на 2 км за годину меншою.

( S = 3(у+ у -2)=6∙у - 6 км).

4) З пункту А виїхали в одному напрямі велосипедист з швидкістю b км за годину і мотоцикліст з швидкістю 35 км за годину. Яка відстань буде між ними через 1 год? через 3 год?

5) Теплохід за течією річки йде з швидкістю у км за го­дину. Швидкість течії 2 км за годину. Яка швидкість руху теплохода проти течії?

Питання про складність попередніх тренувальних вправ і їх кількість має розв'язувати кожний самостійно відповідно до своїх можливостей. При цьому слід мати на увазі, що  є окремі види задач, які можна використати як допоміжні під час переходу до розв'язування задач за до­помогою рівнянь. У зв'язку з цим іноді буває доцільно  розглядати допоміжні вправи, щоб підготувати себе до розв'язування певної групи задач. Треба тільки розрізняти ті випадки, коли за допомогою рівнянь розв'язуються задачі з новими для вас видами залежностей між величинами, і ті, коли аналогічні задачі вже розв'язувалися арифметичним способом.

Далеко не всі так вільно встановлюють двосторонні залежності між величинами, тому, щоб полегшити складан­ня рівнянь, рекомендуємо розглядати задачі в такій послі­довності:

1) 72 горіхи треба розкласти на дві тарілки так, щоб на одній тарілці горіхів було в 2 рази більше, ніж на дру­гій. Скільки горіхів буде на кожній тарілці?

2) Сума двох чисел 135, одне з них на 19 менше від дру­гого. Знайдіть ці числа.

3) Три скаутських загони зібрали 730 кг макулатури. Другий загін зібрав на 30 кг більше, ніж перший, а тре­тій — на 40 кг більше, ніж перший. Скільки кілограмів макулатури зібрав кожний загін?

4) Юннати зібрали з трьох дослідних ділянок 450 кг овочів. З першої ділянки зібрали на 27 кг менше, ніж з другої, а з третьої – на 33 кг більше, ніж з першої. Скільки кілограмів овочів зібрали з кожної ділянки?

5) Три робітники за день виготовили 215 деталей. Пер­ший робітник виготовив на 15 деталей менше, ніж другий, і на 20 деталей менше, ніж третій. Скільки деталей вигото­вив кожний робітник?

Порівнявши умови трьох останніх задач, бачимо, що вони приводять до рівняння того самого виду, але залежнос­ті між величинами сформульовано по-різному. Це має важ­ливе значення для вироблення уміння складати рів­няння.

Аналогічно слід варіювати умови задач, у яких одні величини зв'язані різницевим відношенням, а інші – крат­ним.  Наприклад:

1) Три четвертих класи купили 51 квиток до театру. 5-А купив у 2 рази менше квитків, ніж 5-Б, а 5-В – на 7 квитків більше, ніж 5-А. Скільки квитків купив кожний клас?

2) Купили 3 книжки. За першу заплатили на 12 к. біль­ше, ніж за другу, а за третю – в 3 рази більше, ніж за дру­гу. Скільки коштує кожна книжка, якщо за всі книжки заплатили 2 грн. 67 к.?

3) У трьох сувоях 166 м тканини. У другому сувої тка­нини в 4 рази більше, ніж у першому, а в третьому – на 14 м менше, ніж у другому. Скільки метрів тканини в кож­ному сувої?

4) За три дні туристи пройшли 59 км. За перший день вони пройшли на 4 км більше, ніж за другий, а за третій – у 3 рази менше, ніж за перший. Скільки кілометрів пройшли туристи за кожний день?

5) Три скаутських загони посадили 238 дерев. Перший і другий загони посадили однакову кількість дерев, а тре­тій загін — на 26 дерев менше, ніж перші два загони разом. Скільки дерев посадив кожний загін?

Зауважимо, що розгляд таких груп споріднених задач не має нічого спільного з тренуванням у розв'язу­ванні однотипних задач.

Розв'язування задач на рух за допомогою рівнянь до­цільно вам починати під час вивчення початкових відомостей про десяткові дроби, коли обсяг основних теоре­тичних відомостей ще невеликий.

Розглядаючи відомі вам задачі на зустрічний рух, я нагадую, що такі задачі ви вже вмієте розв'язу­вати за окремими діями, а тепер маєте навчитися розв'язу­вати їх за допомогою рівнянь.

Для прикладу наводимо систему задач на рух, які від­повідають вимозі поступового ускладнення залежностей між величинами.

1) З двох пунктів, відстань між якими 200 км, одночасно виїхали назустріч один одному велосипедист і мотоцик­ліст. Швидкість велосипедиста 13 км за годину, а швидкість мотоцикліста 37 км за годину. Через скільки годин вони зустрінуться?

2) 3 двох станцій, відстань між якими 320 км, виходять одночасно назустріч один одному два поїзди: один з швид­кістю 60 км за годину, а другий з швидкістю 58 км за го­дину. На якій відстані один від одного будуть поїзди через 2 год після виходу?

3) З двох пунктів, відстань між якими 291 км, виїхали одночасно назустріч один одному два автобуси і зустрілися через 3 год. Швидкість одного автобуса 45 км за годину. Визначте швидкість другого автобуса.

4) З двох міст, відстань між якими 508 км, вийшли од­ночасно назустріч один одному два поїзди і зустрілися че­рез 4 год. Визначте швидкість поїздів, якщо швидкість одного з них на 7 км більша, ніж швидкість другого.

5) З двох пунктів, відстань між якими 27 км, вийшли одночасно назустріч один одному два туристи. Один з них проходив за годину на 1 км більше, ніж другий. З якою швидкістю йшов кожний турист, якщо через 2 год після виходу відстань між ними дорівнювала 9 км?

6) У напрямі від А до В вийшов турист з швидкістю 4 км за годину. Через 3 год з В вийшов йому назустріч другий ту­рист з швидкістю 5 км за годину. На якій відстані від В вони зустрінуться, якщо від А до В 48 км?

Добираючи задачі певного змісту, ви повинні орієнтуватися на складність задач і намагатися всі важчі задачі розв'язати через поділ задачі на під задачі. При цьому треба приділити достатню увагу оформ­ленню розв'язання.

Першою вимогою до оформлення розв'язань задач є лаконічність, якої треба навчити з перших кроків розв’язування задач методом рівнянь. Слід поступово пока­зувати кілька у записах залежності між змінними величиними, але всі вони повинні від­бивати лише найістотніше в розв'язуванні задач і не бути багатослівними.

Досить складним для вас є вживання найменувань. Ви, можливо, часто нераціонально виконуєте записи, пов'я­зані з найменуваннями, особливо тоді, коли в умові дають­ся різні найменування однієї й тієї самої величини (см і м, ц і т тощо); нерідко вводять найменування в рів­няння.

Ось чому я від себе вимагаю не лише усних пояс­нень, як розв'язати конкретну задачу, а й деяких загаль­них міркувань, записаних у символах, наприклад, такого змісту:

1) вибираючи ос­новне невідоме і позначаючи його змінною, обов'язково називати одиниці, якими виміряно дані в задачі величини;

2) величини, що входять до рівняння, подавати в одних і тих самих одиницях вимірювання;

3) найменування вели­чин у рівнянні не записувати;

4) проміжні вирази із змін­ними, що містять два і більше членів, брати в дужки і після дужок зазначати потрібні одиниці вимірювання.

Наводимо окремі зразки оформлення розв'язання задач за допомогою рівнянь.

Задача 1. Другого дня зі складу видали у 2 рази більше дроту, ніж першого, а третього – у 3 рази більше, ніж першого дня. Скільки видали дроту за три дні разом, якщо першого дня видали на 30 кг дроту менше, ніж третього?

Розв'язання.

Позначимо масу виданого за 1-й день дроту (в кг) че­рез х. Тоді кількість виданого дроту (в кг) за 2-й день буде 2х, а за 3-й день 3х.

Порівнювані величини: х і 3х.

Рівняння: 3х-х = 30.

Розв'язання рівняння:

2х = 30;

х = 15.

Таким чином, видано дроту в (кг):

за 1-й день      15;

за 2-й день      15∙2 = 30;

за 3-й день      15∙3 = 45;

за 3 дні разом:         15+30+45 = 90.

В і д п о в і д ь. За три дні видали 90 кг дроту.

Зауваження. У поданому зразку розв'язання задачі і в біль­шості наступних зразків найменування розглядуваних величин даються в пояснювальному тексті і не ставляться біля змінних. Цим запобіга­ють зайвим помилкам.

Ми не записували перевірку знайденого кореня рівнян­ня за умовою задачі, бо ця перевірка зводиться до однієї дії, яку ви виконуєте усно.

Задача 2. Перебуваючи в поході, скаути за 3 дні про­йшли 27 км. За перший день вони пройшли відстань у 2 ра­зи більшу, ніж за третій, а за другий день – на 3 км мен­ше, ніж за перший. Скільки кілометрів піонери пройшли за кожний з трьох днів?

Розв'язання.

Примітка.   Проаналізувавши умову задачі,  ви записуєте дні по порядку, а вибір  основного невідомого   починають 3 третього   дня.

За умовою задачі пройдено кілометрів

за  1-й день: 2х

за 2-й день: 2х - 3;

за 3-й день: х.

Рівняння:  2х + 2х-3 + х = 27.

Розв'язання рівняння:

5х - 3 = 27;

5х = 30;

 х = 6.

Визначення шуканих величин.

Було пройдено кілометрів

за 1-й день: 6∙2 = 12;

за 2-й день: 12 - 3 = 9;

за 3-й день: 6.

Перевірка. 12 + 9 + 6 = 27 (км); 12:6=2 (рази); 12- 9=3 (км).

В і д п о в і д ь. За 1-й день 12 км, за 2-й день 9 км, за 3-й день 6 км.

Задача 3. З двох міст, відстань між якими 892 км, вихо­дять одночасно назустріч один одному два поїзди. Швид­кість першого поїзда 57 км за годину, а швидкість другого 59 км за годину. На якій відстані один від одного будуть поїзди через 7 год після виходу?

Розв'язання.

Нехай невідома відстань (в км) становить х.

Рівняння: (57 + 59)∙7 + х = 892.

Розв'язання рівняння:

116 ∙ 7 + х = 892;

812 + х = 892;

х = 80.

В і д п о в і д ь. 80 км.

Задача 4. З двох міст А і В, відстань між якими 372 км, одночасно вийшли назустріч один одному два поїзди. Через дві години відстань між ними становила 136 км. Яку від­стань пройшов за цей час поїзд, що вийшов з А, якщо швид­кість поїзда, який вийшов з В, 57 км за годину?

Розв'язання.

Позначемо невідомі і допоміжні величини. Нехай х км/год швидкість на ділянці АВ

Тоді 2х км – шлях від А до В.

Рівняння:  2х + 57∙2 = 372-136.

Розв'язання рівняння:

2х + 114 = 236;

2х = 236 - 114;

2х = 122;

х = 61.

Отже, поїзд, що вийшов з А, проїхав 122 км.

Перевірка.   372 - (57 + 61)∙2 = 372-118∙2 = 372-236= 136.

Відповідь. 122 км.

Задача 5. Для туристського походу, в якому брало участь 42 чоловіки, заготовили шестимісні й чотиримісні човни. Скільки було тих і других човнів, якщо всі туристи розмістилися в 8 човнах і вільних місць не залишилось?

Розв'язання.

Позначемо шукані і допоміжні величин.

Нехай шестимісних човнів було х  тоді чотиримісних човнів було 8 - х. У шестимісних човнах розмістилося туристів 6х:, а в чотиримісних 4∙(8- х).

Рівняння: 6х + 4∙(8-х) = 42.
Розв'язання рівняння:

6х + 32 – 4х = 42;

2х + 32 = 42;

2х = 42 - 32;

2х = 10;

х = 5.

Таким чином, було човнів:

шестимісних 5,

чотиримісних 8-5 = 3
Перевірка.  6∙5 + 4∙3 = 42.

Відповідь. 5 шестимісних човнів і 3 чотиримісних човнів.

Зауваження. Коли б у цій задачі взяти за х число чотириміс­них човнів, то шестимісних було б 8 - х і рівняння набрало б вигляду

4х + 6∙(8 - х)=42.

Якщо ви не знаюте від'ємних чисел, обгрунту­вання перетворень, пов'язаних з розв'язанням цього рівняння, немож­ливе. Отже, розв'язуючи задачі такого змісту, ви повині  звертати увагу на вдалий вибір основного невідомого.

Задача 6. У шкільному саду росте 35 фруктових де­рев яблунь і груш. Яблунь на 3 більше, ніж груш. Скільки яблунь і скільки груш у шкільному саду?

Розв’язання.

Розв'яжемо цю задачу двома способами.

Перший спосіб. Арифметичний спосіб. Якби яблунь було стільки, скільки груш, то всього фруктових дерев було б на 3 менше, тобто 32. Отже, подвоєне число груш буде 32.

Звідси випливає, що груш було 32 : 2 = 16. Оскільки яблунь було на 3 більше, то їх було 16 + 3 = 19.

Відповідь. У саду було 16 груш і 19 яблунь.

У процесі розв'язування задач часто стають у пригоді рів­няння. Щоб розв'язати задачу за допомогою рівняння, спочатку за умовою задачі треба його скласти. Для цього співвідношення між величинами в задачі треба перекласти на математичну мову.

Другий  спосіб. Складання рівняння. Позначимо число груш у саду буквою х, тоді кількість яблунь буде (х + 3). Загальна кількість дерев х + (х + 3) має дорівнювати 35. Дістанемо рівняння:

х + (х + 3) = 35.

Розв'язання   рівняння:

х + (х + 3) = 35;

2х + 3 = 35;

2х = 35 - 3;

2х= 32;

х = 16.

Отже, в саду було 16 груш.

Яблунь було на 3 більше, тобто 16 + 3 = 19.

Перевірка. Додамо число груш і яблунь: 16 + 19 = 35.

Відповідь. У саду було 16 груш і 19 яблунь.

Задача 7. З 32 учнів контрольну роботу з математики на «6» написали 14 учнів. Решта учнів дістала оцінки «8» і «9», причому вісімок було в два рази більше, ніж дев’яток. Скільки учнів написали роботу на «8» і скільки на «9»?

Розв'язання. Складання рівняння. Позначимо кількість дев’яток буквою х. Кількість вісімок у два рази більше, отже, 2х. Шісток було 14, отже, оцінок було х + 2х + 14. Кількість оцінок має дорівнювати кількості учнів (адже кожний учень дістав одну оцінку).

Запишемо рівняння:

х + 2х + 14 = 32.

Розв'язування   рівняння:

х + 2х + 14 = 32;

3х + 14 = 32;

3х = 32 - 14;

3х = 18;

 х = 6.

Отже, дев’яток було 6, а вісімок – у два рази більше, тобто 6∙2 = 12.

Перевірка. Знайдемо загальну кількість оцінок: 6 +  12 + 14 = 32.

Відповідь. На «9» роботу написали 6 учнів, а на «8» – 12 учнів.

Зауваження. Розв'язавши задачу за допомогою рівнян­ня, правильність її розв'язання треба перевіряти за умовою за­дачі, а не за складеним рівнянням. У противному разі ми пере­віряли б правильність розв'язання рівняння і не перевірили б правильність його складання.

                    Задачі

Складіть рівняння  до задачі і розв'яжіть задачу:

1.     Число  х  додали  до  числа,  яке  дорівнює  подвоєному числу х, і дістали 39. Знайти число.

2.     Від числа 45 відняли число х і дістали потроєне число х. Знайти число.

3.     Від числа  42  відняли число n і знайдений результат збільшили в 3 рази. Дістали 96. Знайти число.

4.     Число m помножили на 4, від результату відняли 73 і дістали 183. Знайти число.

5.    Число m помножили на 6, результат додали до суми чисел m і 9, дістали 44. Знайти число.

6.     Сума двох чисел дорівнює 165, причому перше число більше від другого на 21. Знайти ці числа.

7.     Маса двох контейнерів 102 кг, причому маса одного з них у два рази більша за масу другого. Обчислити масу кож­ного контейнера.

8.     Вік тата й мами разом 75 років, причому мама на 5 років молодша від тата. Визнач вік тата й мами.

9.     Одна сторона трикутника 20 см, друга в три рази більша від третьої. Обчислити дві інші сторони трикутника, якщо його периметр 52 см.

10.      Ширина прямокутної ділянки землі на 15 м коротша від її довжини, а периметр ділянки дорівнює 126 м. Обчислити сторони прямокутника.

11.      Одна сторона прямокутника в 3 рази більша за другу, його периметр 52 см. Обчислити сторони прямокутника.

12.      Сума градусних мір двох кутів дорівнює 123°. Один кут у 2 раза більший від другого. Знайти градусні міри цих кутів.

13.      Від числа 47 відняли деяке число. Знайдену різницю помножили на 2 і від результату відняли 15, дістали 45. Яке число відняли від 47?

14.      Задумане число зменшили в 2 рази і результат додали до числа 19. Дістали 37. Визначити  задумане число.

15.      Сума трьох чисел дорівнює 94. Відомо, що перше число на 18 менше від другого, а третє число на 4 більше від другого. Знайти ці числа.

16.      Микола на 2 роки старший від Володі, а Оленка молодша від Миколи на 3 роки. Вік Миколи, Володі й Оленки разом становить 37 років. Скільки років Володі?

17.      Вік батька, дочки й сина разом становить 47 років. Батько старший від сина в 5 раз, а сестра молодша від брата на 2 роки. Скільки років синові?

18.      Одна сторона трикутника в 2 рази більша за другу, а третя сторона на 5 см менша від другої. Обчислити сторони трикутника, якщо його периметр 85 см.

19.      Сашко пішов до озера. Відстань від дому до озера становила 4,2 км. Спочатку х год він ішов із швидкістю З км/год, а потім ще х год із швидкістю 4 км/год. Який час Сашко був у дорозі?

20.      Два туристи вийшли назустріч один одному з пунк­тів, відстань між якими становила 18 км. Швидкість одного була 4 км/год, а другого 5 км/год. Через який час вони зустрі­нуться?

21.      З одного міста в друге пасажирський поїзд приходить на 45 хв швидше від товарного. Обчислити відстань між містами, якщо швидкість пасажирського поїзда 48 км/год, а товарного 36 км/год.

22.      У двох класах 72 учні. У кінці першої чверті з одного класу перевели у другий чотирьох учнів, після чого кількість учнів в одному класі становила 80 % кількості учнів другого класу. Скільки учнів було в кожному класі на початку навчаль­ного року?

23.      Кількість книжок на одній полиці удвоє менша, ніж на другій. Якщо з першої полиці зняти 9 книжок, а на другу полицю поставити 12 книжок, то кількість книжок на першій полиці буде у 7 разів менша, ніж на другій. Скільки книжок було на кожній полиці?

24.      Дві ремонтні майстерні протягом тижня мали відре­монтувати за планом 18 двигунів. Перша майстерня виконала план на 120 %, а друга – на 125 %, тому протягом тижня відремонтували 22 двигуни. Який план ремонту двигунів на тиждень мала кожна майстерня?

25.      На одній шальці терезів 7 однакових пачок чаю і п'ятдесятиграмова гиря. На другій шальці – дві двохсотграмові гирі. Терези зрівноважено. Скільки важить одна пачка чаю?

26.                       Сума двох чисел дорівнює 210, причому друге число на 66 більше за перше. Знайти ці числа.

27.                       За дві години потяг проїхав 194,5 км, причому за першу годину він проїхав на 7,7 км більше, ніж за другу. Яку відстань проїхав потяг за кожну годину?

28.                       У магазині за два дні продали 1122,6 кг картоплі, причому за другий день продали в 2 рази більше, ніж за перший. Скільки картоплі продали кож­ного дня?

29.                       Середнє арифметичне двох чисел дорівнює 12,8. Одне з них утричі більше за друге. Знайти ці числа.

30.                       Трактористи за три дні зорали 132 га поля. Другого дня зорали в 2 рази більше, ніж першого, а третього — на 8 га менше, ніж другого дня. Скільки гектарів поля було зорано кожного дня?

31.                       Сума двох чисел 524, причому перше число на 18 більше, ніж друге. Знайти ці числа.

32.                       Поле площею 95,7 га розділили на дві ділянки так, що друга ділянка була на 8,9 га менша за першу. Яка площа кожної ділянки?

33.                       З двох шкільних ділянок учні зібрали 193,6 кг цибулі, причому з другої у 3 рази більше, ніж з першої. Скільки цибулі зібрали учні з кожної ділянки?

34.                       Середнє арифметичне двох чисел дорівнює 29,1. Одне число в п'ять раз більше від другого. Знайти ці числа.

35.                       Три книжки коштують 98 грн. Одна книжка в 2 рази дорожча, ніж друга, а третя на 10 грн. дорожча від першої. Скільки коштує кожна книжка?

36.                       Сума двох чисел 483, причому друге число на 159 більше, ніж перше. Знайти ці числа.

37.                       У двох кошиках було 56,9 кг слив, причому в першому було на 15,9 кг слив більше, ніж у другому. Скільки слив у кожному кошику?

38.                       На двох ділянках було посіяно 47,2 ц зерна, причому на другій ділянці було посіяно в 3 рази більше зерна, ніж на першій. Скільки зерна було посі­яно на кожній ділянці?

39.                       Середнє арифметичне двох чисел дорівнює 16,8. Одне з чисел утричі більше за друге. Знайти ці числа.

40.                       За три дні бригада виготовила 266 деталей. Першого дня виготовили у 2 рази більше, ніж другого, а третього — на 10 деталей більше, ніж другого. Скільки деталей виготовляла бригада кожного дня?

41.                       Перше число на 1,7 більше за друге. Якщо перше число помножити на 2,3, а друге помножити на 2,9, то різниця цих добутків дорівнюватиме 1,75. Знайти ці числа.

Цікаві задачі  на кмітливість.

1.     Рибалка ловив рибу. Коли його запитали, яка маса спійманої риби, він сказав: «Я думаю, що маса хвоста 1 кг, маса голови така, як маса хвоста і половини тулуба, а маса тулуба дорівнює масі го­лови і хвоста разом». Яка маса риби?

2.     Летіла зграя гусей, а назустріч їм летить гуска і каже: «Здрастуйте 100 гусей!» «Нас не 100 гусей! – відповідає вожак. – Якби нас було стільки, як тепер, та ще стільки, та півстільки, та чверть стільки та ще ти з нами, тоді б нас було 100». Скільки було гусей у зграї?

3.     Під час екскурсії група учнів мала переправитися через бухту. На бе­резі стояло кілька човнів. Якщо в кожний човен сяде по 6 чоловік, то для чотирьох учнів не вистачить місця, а якщо по 8, то один човен буде зайвий. Скільки було учнів і човнів?

4.     Бабуся підрахувала, що коли вона дасть кожному внуку по 6 пряників, то не виста­чить 8, а якщо по 4, то залишиться 6. Скільки внуків у бабусі? Скільки пряників?

5.     Діти ділили яблука. Коли поча­ли роздавати по 5 яблук, то останній одержав 3 яблука, коли роздали по 4 яблука, то залишилося 15. Скільки було яблук і дітей?

6.     Біля мосту через річку зустрілися подорожній і купець. Подорожній поскаржився, що він бідний. «Я допоможу тобі – сказав купець, – кож­ного разу, як ти перейдеш міст, у тебе гроші подвояться. Але кожного разу ти будеш віддавати мені 24 копійки». Три рази перейшов подорожній міст, а коли зазирнув у кишеню, там було порожньо. Скільки грошей було в подорожнього спочатку?

7.     Зібрався Іван-Царевич на бій з триголовим і трихвостим Змієм Гориничем. «Ось тобі чарівний меч, — каже йому Баба Яга. – Одним ударом ти можеш зрубати Змієві або 1 голову, або 2 голови, або 1 хвіст, або 2 хвос­ти. Запам'ятай: зрубаєш голову – нова виросте, зрубаєш хвіст – 2 нових ви­ростуть, зрубаєш 2 хвости –голова виросте, зрубаєш 2 голови – нічого не виросте». За скільки ударів Іван-Царевич може зрубати Змієві всі го­лови і всі хвости? Які удари потрібно наносити?

8.     На чарівній планеті живуть 40 коліордів. 12 із них увечері п'ють чай, 28 –дивляться теле­візор, а 5 – не роблять ні того, ні іншого, оскільки рано лягають спати. Скільки коліордів п'ють вечо­рами чай, дивлячись телевізор?

9.     Після того, як Буратіно розв'язав кілька прикладів, йому залишилося розв'язати в 3 рази більше прикладів, ніж він розв'язав. Скільки всього прикладів треба було розв'язати Буратіно, якщо йому залишилося розв'язати к  прикладів? Скласти вираз і знайти його значення якщо к = 6. Приду­мати задачу про інші величини, яка розв'язується так само.

10.                       Чебурашка повинен був привезти на будів­ництво Будинку Дружби 620 цеглин, але він привіз 69% -  цієї кількості цеглин. Скільки цеглин привіз Чебурашка на будівництво?

11.                       Буратіно вирішив купити для Папи Карло новий будинок за 300 сольдо. Але поки він зібрав гроші, ціна будинку зросла на 20 %. Скільки повинен заплатити Буратіно за цей будинок?

12.                       Листоноша Пєчкін поклав  у поштові скриньки в березні 48 листів. Це становить кількості листів, які він приніс у лютому. Скільки листів поклав у поштові скриньки листоноша Пєчкін за ці два місяці?

13.                       На лісовій галявині зібралися маги та чарів­ ники і почали змагатися, хто більше зробить чудес. Злі чарівники змогли разом зробити 168 чудес. Це становить лише 3 % чудес, які зробили добрі чарів­ ники. Скільки чудес зробили добрі чарівники? На скільки чудес вони обігнали своїх суперників?

14.                       Тітка Агата дала Піфу на вечерю 12 кісток. Піф  з'їв 7 кісток, а потім побачив кота Геркуле­са, погнався за ним і надкусив йому вухо. Тітка Агата вирішила покарати Піфа і не дала йому закінчити вечерю. Яку частину своєї вечері встиг з'їсти Піф?

15.                       Мачуха звеліла Попелюшці перебрати 100 кг крупів. Попелюшка перебрала 150 кг. Яку частину завдання виконала Попелюшка? Виразити цю час­тину у відсотках. На скільки відсотків Попелюшка перевиконала завдання?

16.                       Троє рибалок впіймали 75 окунів і вирішили зварити юшку. Коли один рибалка дав 8 окунів, другий — 12, а третій — 7, то окунів у них залишилося порівну. Скільки окунів упіймав кожний?

17.                       Старовинна задача. У класі навчаються 13 дітей. У хлопчиків стільки зубів, скільки у дівчаток пальців на руках і ногах. Скільки в класі хлоп­чиків і скільки дівчаток? Припускається, що в кож­ного учня по 32 зуби).

18.                       Пішов дощ. Під водостічну трубу поставили порожню діжку. В неї вливається протягом хви­ лини 8 л води. Через щілину в діжці виливається за хвилину 3 л води. Скільки води буде в діжці через 1 хв? Через 2 хв? Через 3 хв? Через 5 хв? Через 9 хв?

19.                       Старовинна задача. Іванко купив собі іграшку, Петрик — книжку з малюнками, а Микола при­дбав столярний верстат. Виявилося, що кожен з них витратив грошей уп'ятеро більше, ніж попередній, а всі разом витратили 24 грн 80 к. Скільки коштує кожна з покупок?

20.                       Старовинна задача. Одного чоловіка запи­тали, скільки в нього грошей. Він відповів: «Мій брат втричі багатший за мене, батько втричі багат­ший від брата, дід втричі багатший за батька, а у всіх нас рівно 1000 карбованців. От і дізнайтеся, скільки в мене грошей?»

21.                       До діжки з водою підведений шланг, через який у неї вливається 9 відер води за годину. Че­рез другий шланг водою поливають город, витра­чаючи при цьому 16 відер води за годину. Через який час спорожніє повна діжка, яка вміщує 21 відро води, якщо обидва шланги використовувати одночасно?

22.                       Задача-жарт. У кухні на дачі було 18 мух, хазяйка б'є мухобійкою 5 мух за хвилину, а в кух­ню тим часом залітають 2 нові мухи. Через який час в кухні не залишиться мух взагалі?

23.                       Старовинна задача. Із двох сіл ідуть на­ зустріч один одному два робітники. Знічев'я вони рахують свої кроки (кожний довжиною в один аршин). Один налічив за хвилину 133 кроки, а дру­гий 167 кроків. Через 5 хв вони зустрілися. Яка відстань між селами? (1 аршин = 71 см.)

24.                       Іван та Назар ідуть назустріч один одному по дорозі. Іван іде зі швидкістю 3 км/год, а Назар - 4 км/год. Зараз між ними 21 км. Яка відстань буде між ними через дві години? Скласти вираз і знайти його значення.

25.                       Щука пливе за карасем. Швидкість щуки 10 м/с, а швидкість карася 6 м/с. На якій відстані один від одного вони будуть через 3 с, якщо зараз між ними 80 м? Через скільки секунд щука наздо­жене карася?

26.                       Два полохливих зайчики вискочили з куща, злякалися один одного і помчали у різні боки. Швидкість одного зайчика 580 м/хв, а швидкість другого зайчика – 520 м/хв. На якій відстані один від одного вони будуть через 1 год?

27.                       Шапокляк забула в автобусі сумку і по­ мітила це, коли автобус від'їхав від неї на відстань 200 м. Вона помчала за автобусом із швидкістю 120 м/хв. Швидкість автобуса 840 м/хв. Чи зможе Шапокляк наздогнати автобус? На якій відстані від автобуса вона буде через 2 хв?

28.                       Ворона Каррі-Карр пролетіла за 4 години 18 км. Яку відстань вона пролетить за 7 годин?

29.                       Моряку Чарлі 5 років тому виповнилося  7 років. Скільки років виповниться йому через 4 роки?

 Задачі для самостійної роботи

1.     У першому кошику в 3 рази більше огірків, ніж у другому, а в двох кошиках разом 50 кг огірків. Скільки огірків у кожному кошику?

2.     З трьох дослідних ділянок зібрали 180 ц пшениці. З першої ділянки зібрали в 2 рази більше, ніж з другої, а з третьої на 20 ц більше, ніж з першої. Скільки пшениці зібрали з кожної ділянки?

3.     На перший автомобіль поклали в 2 рази більше вантажу, ніж на другий. Скільки вантажу було на кожному автомобілі, якщо всього було 10,2 т ван­тажу?

4.     На трьох полицях 165 книжок. На першій полиці в 3 рази більше кни­жок, ніж на другій, а на третій полиці на 15 книжок більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?

5.     Сума двох чисел дорівнює 28. Знайти ці числа, якщо 40 % одного з них на 0,8 більше, ніж 25 % другого.

6.     Яблука відправляли в ящиках трьох розмірів загальною вагою 120 кг. Вага яблук у першому ящику втричі більша від ваги яблук у другому ящику, а вага яблук у третьому ящику вдвічі менша, ніж вага яблук у першому і другому ящиках разом. Яка вага яблук у кожному ящику?

Задачі для домашньої контрольної роботи.

1.     Сума двох чисел дорівнює 185, причому перше число на 15 більше від другого. Знайти ці числа.

2.     У двох ящиках 80,4 кг яблук, причому в другому на 5,8 кг яблук більше, ніж у першому. Скільки яблук у кожному ящику?

3.     Туристи за два дні пройшли 63,3 км. Другого дня вони пройшли вдвічі більше, ніж першого. Яку відстань вони проходили кожного дня?

4.     Середнє арифметичне двох чисел дорівнює 21,5. Одне число в чотири рази більше від другого. Знайти ці числа.

5.     Площа трьох ділянок 105 га. Площа першої ділянки у 2 рази менша, ніж площа другої, а третьої — на 15 га більша від площі другої. Яка площа кожної ділянки?

Наведені зразки розв'язання задач не єдині. Набувши певного досвіду, ви можете вносити в задачі нові деталі й доповнення. Треба поступово навчати себе пояснювати, як складати рівняння, але відповідних письмових пояснень від вас я не вимагаю.

Для складання власних задач, що розв'язуються з допомогою рівнянь, слід використовувати статистичні дані, дані періо­дичної преси про розвиток господарства якоїсь країни, якогось міста, району, села, факти з життя, з торгівлі.