Завдання на дослідження властивостей натуральних чисел.

1.       Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000 включно, у яких сума цифр рівна 24?

Відповідь: 10 чисел: 888, 996, 969, 699, 987, 897, 879, 978, 798, 789.

2.       Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000, у яких сума цифр рівна 3?

Відповідь:  10 чисел: 3, 30, 300, 12, 21, 102, 120, 210, 111, 201.

3.       Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000 включно, у яких сума цифр рівна 1?

Відповідь: 4 чисел: 1, 10, 100, 1000.

4.       Чи існує натуральне десятицифрове число, яке ділиться націло на 11, у запису якого різні цифри?

Відповідь: так, існує, і не одне. Наприклад: 2753967180 або 1427385960 та інші.

5.       Яких двоцифрових чисел більше: тих, що є добутками двох будь-яких цифр, чи тих, які не дорівнюють добутку двох цифр?

Відповідь: менше тих, що є добутками цифр.

6.       Яке найменше натуральне число можна отримати, шляхом розстановки знаків плюс та мінус перед числами 1, 2, 3, 4, 5, …. , 99?

Відповідь: 1.

7.       Чи можна у вершинах рівностороннього восьмикутника розташувати числа 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  таким чином, щоб суми чисел розташовані у будь-яких  трьох сусідніх вершинах були б більше 11?

Відповідь: Так, наприклад, по часовій стрілці: 1, 5, 7, 2, 4, 6, 3, 8.

8.       Чи існує натуральне число від 1 до 1000, у яке при діленні  на 9 має остачу 2, а при діленні на 6 має остачу 1?

Відповідь: не існує.

9.       Знайти натуральне число, сума цифр якого дорівнює різниці між числом 328 і  самим числом?

Відповідь: 317.

10.    В Іванка 44 монети і 10 кишень. Чи зможе він розкласти монети в кишені так, щоб в кожній кишені була різна кількість монет?

Відповідь: не може.

11.    Від двоцифрового числа  відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в зворотному порядку. Яке це число?

Відповідь: 54.

12.    Чи можна у вершинах рівностороннього восьмикутника розташувати числа 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  таким чином, щоб суми чисел розташовані у будь-яких  трьох сусідніх вершинах були б більше 13?

13.    Відповідь: не можна. Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку.

Відповідь:98 

14.    Знайти двоцифрове число, яке дорівнює сумі цифри його десятків і квадрату цифри одиниць.

Відповідь:89 

15.    У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифрове число в 6 разів менше трицифрового. Знайти трицифрове число.

Відповідь:108 

16.    Взяли шість 7-цифрових натуральних чисел. Деякі з них записали як  суму із семи доданків. Потім деякі з чисел знову записали як  суму із семи доданків.  І так далі. Після цього підрахували усі  числа, їх виявилось 67.  Чи правильно виконаний підрахунок?

 Відповідь: не правильно

17.     Чи існує  квадрат 3х3,  в клітинках якого розташовані натуральні числами від 1 до 3 таким чином, сума  трьох різних цифр: у кожній діагоналі , у кожному стовпчику, у кожному рядку рівна?

Відповідь: не існує.

18.    Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового числа. Яке початкове число?

Відповідь: 45.

Комплексне завдання 

на дослідження відношення порядку 

на множині натуральних чисел.

Розподілити  двадцять  тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Існує  натуральне число між двома числами 2m  та  2m - 1,  де  m  − натуральне число.
2. Серед  обмеженої кількості  натуральних чисел  є  найбільше та найменше число, які можна записати  або 5m,  або 5m + 1, або 5m + 2, або  5m + 3,  або 5m  - 1,  де  m − натуральне число.
3.  Серед  необмеженої кількості  натуральних чисел  є  найменше число, які можна записати  або 9m,  або 9m + 1, або 9m + 2, або  9m + 3,  або 9m + 4,  9m + 5, або 9m + 6, або  9m + 7,  або 9m - 1,  де  m − натуральне число.
4. Серед будь-яких двох парних   натуральних  чисел  вигляду  існує  непарне число, яке можна записати або 9m - 1, або  9m - 3,  або 9m - 5, або  9m -7,  ,  де  m − натуральне число.
5. Не можливо  знайти  парне числа серед будь-яких двох непарних   натуральних  чисел,  які записуються  у вигляді  або 5m,  або 5m+2, або 5m+4,  де  m − натуральне число.
6. Одиниця не є наступним елементом жодного з чисел натурального ряду.
7. Для довільного натурального числа існує наступне натуральне число.
8. Якщо для довільних двох  натуральних чисел відповідні їм на­ступні числа збігаються, то самі ці елементи рівні.
9. Якщо множина М складається з натуральних чисел і містить одиницю ряду натураль­них чисел та для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел являється  підмножиною М.
10.  Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m +1, або 4m + 2, або  4m + 3   не можливо  знайти  найменшого числа,  яке записуються  у вигляді  7m +1, або 7m+2,  де  m − натуральне число.
11. Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m+1, або 4m+2, або  4m+3  можна  знайти найбільше число,  яке  записуються  у вигляді  або  3 m, або 3m -1, або 3m - 2,  де  m − натуральне число.
12. Серед будь-яких  трьох натуральних чисел вигляду 3m  або  3m - 1, або 3m - 2   можна  два послідовні парні числа знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 2m + 2, або 2m,  де  m − натуральне число.
13. Якщо число парне, тоді його попереднє і наступне непарні числа, які записується  у вигляді  або  9m,   або  9m-2, або  9m-4,  або  9m-6, або 9m-8,  де  m − натуральне число.
14. Якщо натуральне число ділиться на 3, тоді воно записується  у вигляді  або 3m - 1, або  3m - 2, де  m − натуральне число.
15. Якщо натуральні  числа записується  у вигляді  або  6m - 1, або  6n - 2, або 6p - 5, або  6k - 4,  або 6g - 3,  тоді серед них немає рівних чисел.
16. Якщо натуральні числа записуються у вигляді 5n - 4 і 3m - 1, тоді вони можуть бути рівними між собою і записуються або  6m+1, або  6m+2, або 6m+5, або  6m+4,  або 6m+3, де  m − натуральне число.
17. Якщо три натуральні числа записується  у вигляді  6m+1,   6m+2,  6m+3,  тоді  три наступні натуральні числа  відповідно  записуються  у такому порядку 6n+5,  6n+4,  6n+3, де  m, n − натуральні числа.
18. Якщо  натуральні числа записується  у вигляді  7m+1,  7m+2,  7m+3  тоді  три попередні натуральні числа  записуються у такому порядку 7k,  7k -1, 7k  -2, де  m, k − натуральні  числа.
19. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  8m+8,  4m+4,  тоді   їхні попередні  числа  є непарними і  записуються  відповідно 8m - 7,  4m+3, де  m − натуральне число.
20. Якщо натуральні числа записується  у вигляді 2m+1,  4m+2,  тоді   вони  ніколи не можуть бути рівними,  де  m − натуральне число.