Поняття про МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

На аксiомі 4 Пеано грунтується спосіб доведення тверджень, який називається метод математичної індукції. Доведення різних тверджень  цим методом проводиться від часткового до загального, а потім робиться висновок про істинність даного твердження.

Приклад 1. Довести, що на площині n прямих, серед яких жодні три не перетинаються в одній точці, а жодні дві не паралельні, поділяють площину на 1 + 0,5n(n + 1) частин.

Доведення (методом математичної індукції):

1)Пряма ділить площину на 2 = 1+0,5 ∙1 ∙ (1 +1)  частини, тобто
твердження справджується для n = 1.

2)Припустимо, що n прямих ділять площину на 1 + 0,5n(n+1) час­тин. Нова (n + 1)-а пряма перетне наявні n прямих у n точках,
що поділять нову пряму на (n + 1) частин. Отже, з наявних
1 + 0,5n(n + 1) частин площини буде перетнуто і поділено новою
прямою (n+1). Таким чином, при проведенні цієї прямої кількість частин, на які поділяється площина, зросте на (n + 1) і
дорівнюватиме:

1 + 0,5n(n + 1) + (n + 1) = 1 + 0,5(n + 1)(n + 2).

Тепер можна зробити висновок про те, що дана рівність (1) справедлива для будь-якого n Î N.

Завдання.  

Якщо є повне розуміння попереднього доведення, тоді спробуйте самостійно довести методом математичної індукції такі рівності:

1. 2+4+6+..+ 2k = k(k+1)   (сума перших парних натуральних чисел);
2. 1+3+5+..+ 2k -1 = k²   (сума перших непарних натуральних чисел);
3. 1+2+3+4+..+ k =0,5k(k+1)   (сума перших натуральних чисел);
4. 1²+2²+3²+4²+..+k² = k(k+1)(2k+1)/6 (сума квадратів перших натуральних чисел);
5. 1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + k(k+1) = k(k+1)(2+k)/3;
6. 1³+2³+3³+4³+..+k³ =  k²(k+1)²/4 (сума кубів перших натуральних чисел).