Основна теорема арифметики

Шукане число має такий розклад: 2ⁿ∙ 3^m.

 Таким чином:

1) n₁+1 = 5,   m₁ +1 = 7, звідси  n₁= 4,  m₁ =6.

2) n₂ +1 = 7,  m₂ +1 = 5,  звідси  n₂  = 6,  m₂ = 4.

Відповідь. 2⁴ ∙ 3⁶ або 2⁶ ∙3⁴.

Задачі на дослідження властивостей натуральних чисел

1. В розкладах на прості множники  двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа.  Який спільний дільник цих чисел? Відповідь: 1.

2. В розкладах на прості множники  двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа.  Яке спільне кратне(ділене) цих чисел? Відповідь: nm.

3. В розкладах на прості множники  двох  натуральних чисел n та m зустрічаються тільки числа в парних степенях.  Чи являється добуток двох  чисел квадратом натурального числа? Відповідь: Так, цей добуток є квадратом.

4.а Чи може бути квадратом натурального числа сума квадратів двох непарних чисел? Відповідь: Не може.

4.б Скільки натуральних дільників має натуральне числа, як отримане піднесенням деякого простого числа до степеня n? Відповідь: n +1 дільників.

5. Знайти суму цифр n та m, для яких сума чисел  являється точним квадратом. Відповідь: n + m = 11

6. Які остачі при діленні на 6  простого числа, більшого ніж 5, можна отримати? Відповідь: 5 та 1.

7. Чи можна серед натуральних чисел вигляду  n∙ n∙ n∙ n + 4 знайти просте число? Відповідь: Не можна

8. Чи будь-яке просте число, крім 2 та 3, має вигляд 6к + 1 та 6к -1?

Відповідь: Так.

9. Чи будь-яке число, що має вигляд 6к + 1 та 6к -1 являється простим?

Відповідь: Не завжди

10. Чи завжди натуральне число вигляду  р∙р -1 (де р – просте число, більше 3) ділиться на 24? Відповідь: Так.

11.              Чи завжди куб натурального числа(не кратного 7) має вигляду  7р -1 або 7р +1 , де р – натуральне число? Відповідь: Так

12.           Чи завжди квадрат натурального число має вигляд або  5∙р -1, або 5∙р +1,  або5∙р, де р – натуральне число? Відповідь: так